Найти максимум выражения

[Sicker]

Ksanty
Если можно доказать, что в одной трети экстремум, а на бесконечности везде ноль, то этот экстремум будет максимумом (из подстановки)

[Ksanty]

Sicker в сообщении #1446264 писал(а):

Ksanty
Если можно доказать, что в одной трети экстремум, а на бесконечности везде ноль, то этот экстремум будет максимумом (из подстановки)

т.е. как же на бесконечности?! Дано что $x>0,y>0,z>0$ и $x+y+z=1 \Rightarrow x,y,z \in (0,1)$!
Не понимаю о какой бесконечности идёт реч?

[Sasha2]

Ksanty,

Воспользуйтесь просто следующим тождеством

$(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y+z)(xy+yz+zx)-3xyz$

Затем прибавьте и вычтете классическое утроенное неравенство Шура и убедитесь, что Ваше неравенство приведется вот к такому

(3 * (Неравенство Шура)) + $x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2z+zx^2-6xyz\geqslant0$, которое конечно же верно по AM-GM.

[Ksanty]

$Sasha$2$,
Спасибо - большое!Ваши идеи очень помогли!Вот что получилос в конце-концов :
$\cdot\cdot\cdot 3(x+y+z)^3 -11(x+y+z)(xy+yz+zx)+18xyz \geqslant 0\Leftrightarrow$
$3((x+y)^3+3(x+y)^2z+3(x+y)z^2+z^3)-11(x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+3xyz)+18xyz\geqslant 0 \Leftrightarrow$
$3(x^3+y^3+z^3+3(x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+2xyz))-11(x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+3xyz)+18xyz \geqslant 0 \Leftrightarrow$
$x^3+y^3+z^3-3xyz+2(x^3+y^3+z^3+3xyz-(x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2)) \geqslant 0 \Leftrightarrow$
$x^3+y^3+z^3-3xyz \geqslant 0$, это очевидно из неравенсво AM-GM !
И $x^3+y^3+z^3+3xyz-(x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2)\geqslant 0$ - это
же неравенство Исая Шура $x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-x)(y-z)+z^r(z-x)(z-y)\geqslant 0$, для $r =1$ !
Большое спасибо Всем, кто как то помогли!