2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Найти максимум выражения
Сообщение22.03.2020, 13:14 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Ksanty
Если можно доказать, что в одной трети экстремум, а на бесконечности везде ноль, то этот экстремум будет максимумом (из подстановки)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти максимум выражения
Сообщение23.03.2020, 15:25 


07/03/20
34
Sicker в сообщении #1446264 писал(а):
Ksanty
Если можно доказать, что в одной трети экстремум, а на бесконечности везде ноль, то этот экстремум будет максимумом (из подстановки)

т.е. как же на бесконечности?! Дано что $x>0,y>0,z>0$ и $x+y+z=1 \Rightarrow x,y,z \in (0,1)$!
Не понимаю о какой бесконечности идёт реч?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти максимум выражения
Сообщение23.03.2020, 16:03 


21/06/06
1721
Ksanty,

Воспользуйтесь просто следующим тождеством

$(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y+z)(xy+yz+zx)-3xyz$

Затем прибавьте и вычтете классическое утроенное неравенство Шура и убедитесь, что Ваше неравенство приведется вот к такому

(3 * (Неравенство Шура)) + $x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2z+zx^2-6xyz\geqslant0$, которое конечно же верно по AM-GM.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти максимум выражения
Сообщение23.03.2020, 18:59 


07/03/20
34
$Sasha$2$,
Спасибо - большое!Ваши идеи очень помогли!Вот что получилос в конце-концов :
$\cdot\cdot\cdot 3(x+y+z)^3 -11(x+y+z)(xy+yz+zx)+18xyz \geqslant 0\Leftrightarrow$
$3((x+y)^3+3(x+y)^2z+3(x+y)z^2+z^3)-11(x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+3xyz)+18xyz\geqslant 0 \Leftrightarrow$
$3(x^3+y^3+z^3+3(x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+2xyz))-11(x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+3xyz)+18xyz \geqslant 0 \Leftrightarrow$
$x^3+y^3+z^3-3xyz+2(x^3+y^3+z^3+3xyz-(x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2)) \geqslant 0 \Leftrightarrow$
$x^3+y^3+z^3-3xyz \geqslant 0$, это очевидно из неравенсво AM-GM !
И $x^3+y^3+z^3+3xyz-(x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2)\geqslant 0$ - это
же неравенство Исая Шура $x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-x)(y-z)+z^r(z-x)(z-y)\geqslant 0$, для $r =1$ !
Большое спасибо Всем, кто как то помогли!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Ivan 09


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group