доказать, когда a^n будет больше n^2

[Connector]

Требуется найти такое $n$, начиная с которого $a^n$ будет больше, чем $n^2$, так что $n=1$ не годится.

[mihaild]

(Оффтоп)

Dmitriy40 в сообщении #1444695 писал(а):

Разложение в ряд?

Это не ряд, это бином Ньютона. У нас в школе вроде был.
Но при желании конечно можно написать $a^n = a^3 \cdot a^{n - 3}$, первое расписать (уж куб суммы двух слагаемых в школе точно есть), второе оценить снизу единицей.

[dummy]

mihaild
Спасибо большое! Т.е. надо было попробовать доказать, что какое-то слагаемое из суммы, которое дает $a^n$, больше (т.е. "$>$") чем $n^2$. А значит и $a^n$ больше. Для этого можно разложить $a^n$ с помощью бинома Ньютона.

[mihaild]

Connector в сообщении #1444699 писал(а):

Требуется найти такое $n$, начиная с которого $a^n$

Тут важно - вам нужно найти максимальное такое $n$, или какое-то? Какое-то (и этого достаточно для работы с пределами) можно получить из бинома Ньютона, точное школьными методами получить нельзя.

-- 13.03.2020, 14:54 --

dummy в сообщении #1444702 писал(а):

Т.е. надо было попробовать доказать, что какое-то слагаемое из суммы, которое дает $a^n$, больше (т.е. "$>$") чем $n^2$

Ну да. Вы можете для какого-то слагаемого такую оценку на $n$ написать?

[arseniiv]

(Оффтоп)

dummy в сообщении #1444686 писал(а):

Т.е. я правильно вас понял, что вывод такой формулы аналитически невозможен и можно использовать только численное решение?

Тут главное не забывайте, что с синусом и квадратным корнем ровно такая же история, пока мы не ввели для них обозначение и не доказали то и сё. А когда начинаем считать на компьютере, который умеет более-менее лишь складывать да умножать, оказывается, что не так эти квадратные корни с синусами и просты. То же самое, что делается для них, можно сделать и для решения уравнения $a^x = x^2$. (Разве что там несколько разных функций можно ввести, и надо будет их между собой не перепутать, так что может быть удобнее решать уравнение, где $a$ неизвестная, а $x$ дан.)

[novichok2018]

Ответ "с какого $n$" наверное через функцию Ламберта можно получить?

[wrest]

novichok2018 в сообщении #1444775 писал(а):

Ответ "с какого $n$" наверное через функцию Ламберта можно получить?

Да, товарищ Вольфрам так и получает.

[dummy]

Цитата:

через функцию Ламберта можно получить

novichok2018
Гугл показывает на это https://ru.wikipedia.org/wiki/W-функция_Ламберта
Пожалуйста, можно чуть подробнее, как тут применить функцию Ламберта?

[Someone]

dummy в сообщении #1444790 писал(а):

Пожалуйста, можно чуть подробнее, как тут применить функцию Ламберта?

Там, куда Вы ссылаетесь, есть разобранный пример решения очень похожего уравнения.

Как я понял, задача, которую Вы хотите решить, состоит в доказательстве того, что $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a^n}{n^2}=+\infty$ при $a>1$. Допустим, Вы решите уравнение $a^x=x^2$ и получите что-нибудь вроде $x=-\frac 2{\ln a}W\left(-\frac{\ln a}2\right)$. Что Вы будете с этим делать?

Для решения вашей задачи это совсем не нужно, и даже без бинома Ньютона можно обойтись.

[Sicker]

(Оффтоп)

dummy в сообщении #1444790 писал(а):

https://ru.wikipedia.org/wiki/W- функция_Ламберта

Когда вижу такие ссылки хочется убивать

[novichok2018]

Убивать никого не надо, пожалуйста. А ссылка действительно битая, нехорошо.
А ответ на один из поставленных вопросов: "как найти такое число что именно с него неравенство начинает выполняться " - на мой взгляд ответ и даёт приведённая выше формула через функцию Ламберта, проще его не сформулировать. Эта функция элементарно считается через хорошие ряды или Вольфрамом. Поэтому если при каком-то $a$ получилось решение уравнения 3, 62 - то это означает по монотонности функции Ламберта на рассматриваемом промежутке, что при $n=3$ показательная функция ещё меньше степени, а при $n=4$ и далее уже больше, найдены точные значения. Задача решена.

[wrest]

novichok2018 в сообщении #1444811 писал(а):

на мой взгляд ответ и даёт приведённая выше формула через функцию Ламберта

Не даёт, вы же видели что для $a=1,5$ у уравнения $a^x=x^2$ три корня и решением неравенства является пара интервалов post1444685.html#p1444685 где там монотонность и монотонность чего?

[Dmitriy40]

Судя по моему графику пара интервалов будет всегда при $0.5<a<2.1$ (оба значения примерные) за исключением точки $a=1$, второй (бесконечный) интервал или сверху, или снизу (в минусе). Если рассматривать только положительные значения, то два интервала будут для $1<a<2.1$ (правое значение примерное).

(Оффтоп)

Интересно кстати насчёт этой вот границы, $a<2.1$, чему равна более точно и как зависит от $k>1$ в уравнении $a^n=n^k$ ...

[kotenok gav]

Dmitriy40 в сообщении #1444821 писал(а):

$0.5<a<2.1$

Еще можно сказать что тогда, когда у уравнения $a^x=x^2$ 3 корня, а не 2.

-- 14 мар 2020, 20:18 --

Ой, не 2, 1.

-- 14 мар 2020, 20:23 --

Для $a<0.5$ один отрицательный корень $x$ - бесконечный интервал $(-\infty, x)$.
Для $0.5<a<2.1$ два положительных $x<y$ и один отрицательный корень $z$ - конечный интервал $(z, x)$ и бесконечный $(y, +\infty)$.
Для $a=1$ один отрицательный корень $-1$ и один положительный корень $1$ - конечный интервал $(-1, 1)$.
Для $a>2.1$ один отрицательный корень $x$ - бесконечный интервал $(x, +\infty)$.

-- 14 мар 2020, 20:25 --

И теперь единственное, осталось найти точные значения $0.5$ и $2.1$.

[Someone]

Чего все так зациклились на этом трансцендентном неравенстве? Исходная задача о пределе последовательности $a_n=\frac{a^n}{n^2}$ при $a>1$ легко решается школьными средствами, если об этом неравенстве забыть и поинтересоваться, начиная с какого $n$ эта последовательность начинает возрастать. Для этого можно рассмотреть отношение $\lambda_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$. Подходящее $n$ легко находится из очень простого алгебраического неравенства, после чего $a_n$ легко оценивается снизу геометрической прогрессией со знаменателем, большим $1$.
Но дальше разжёвывать это решение без активного участия dummy не следует, а то ему уже вообще никакой работы не останется.