доказать, когда a^n будет больше n^2

[dummy]

Добрый день!

Пытаюсь сам для себя учить то, что много лет назад проходил в школе/универе. И спотыкаюсь об очевидные вроде бы вещи.

Вот придумал пример: найти такое $n$, начиная с которого $a^n$ будет больше, чем $n^2$

Не понимаю, какие "приёмы" надо использовать для доказательства таких задачек. Надо, видимо, как-то выразить это "больше" относительно $a$?

[wrest]

dummy в сообщении #1444650 писал(а):

Надо, видимо, как-то выразить это "больше" относительно $a$?

Да, для этого есть такой значок: ">". Соответственно,

dummy в сообщении #1444650 писал(а):

$a^n$ будет больше, чем $n^2$

записывается так: $a^n>n^2$

[Someone]

dummy в сообщении #1444650 писал(а):

Не понимаю, какие "приёмы" надо использовать для доказательства таких задачек.

Начать, наверное, надо с того, что задачки не доказывают, а решают. А доказывают теоремы.

dummy в сообщении #1444650 писал(а):

Надо, видимо, как-то выразить это "больше" относительно $a$?

Что такое "больше относительно $a$", я не понимаю. Но, вообще, есть специальные значки для записи неравенств: $a^n>n^2$.

dummy в сообщении #1444650 писал(а):

Вот придумал пример: найти такое $n$, начиная с которого $a^n$ будет больше, чем $n^2$

Если Вы повторяете школьный курс, то не надо ничего придумывать. Надо взять школьные учебники и задачники, читать учебники, решать задачи из задачников. Конкретно этот "пример" школьными методами не решается.

[dummy]

Цитата:

Конкретно этот "пример" школьными методами не решается.

А какими решается?

[Dmitriy40]

Сделал картинку с решением $a^n>n^2$ (красным заштрихована область решения, могут быть потеряны отдельные точки или линии так как решение числовыми методами):

[dummy]

Цитата:

Сделал картинку с решением

Спасибо!

Но интересует не наглядная демонстрация решения, а вывод формулы.

Сейчас опять напишут, что я неправильно использую слова - но хочется понять способ вывода формулы, которая бы задавала минимальное значение $n$, начиная с которого $a^n > n^2$ для произвольного $a > 1$

Я не прошу готовый ответ. Я прошу указать на способ, с помощью которого эту формулу можно найти. Спасибо

[Dmitriy40]

Да я просто для информации как примерно выглядит решение.
А про формулы Вам намекнули что не любое решение даже такого простого неравенства можно получить/вывести и/или выразить теми формулами и функциями, что Вы знаете из школьного курса. И конкретно это на школьном уровне не решается (и вероятно не выражается). Если Вам доступен уровень выше школьного по мат.анализу, наверное стоит его обрисовать, тогда товарищи смогут в понятных Вам терминах что-то рассказать, если это возможно. Извините что влезаю с банальностями, показалось их недопонимаете.

А, да, по графику видно что в интервале $a$ от $1$ до $2$ с небольшим допустимы $n$ не только минимальные сильно больше $4$, но и существенно меньшие, в диапазоне примерно от $-0.8$ до $2$. Т.е. неясно учитывали ли Вы эту возможность при постановке задачи или искали лишь $n$ на верхней части, больше $2$.

[Someone]

На школьном уровне — графически. Например, для неравенства $1{,}5^x>x^2$ строим на одном чертеже графики функций $y=1{,}5^x$ и $y=x^2$ и смотрим, где они пересекаются (первые два графика). Можно также построить график функции $y=1{,}5^x-x^2$ (последние два графика). Чтобы строить графики осмысленно, надо знать свойства показательной и степенной функций. По графикам можно приближённо найти координаты точек пересечения, а потом уточнить их, вычисляя значения функций на калькуляторе или компьютере.
Если абсциссы точек пересечения графиков слева направо обозначить $x_1$, $x_2$, $x_3$, то решение неравенства имеет вид $(x_1;x_2)\cup(x_3;+\infty)$ (или в виде совокупности неравенств $x_1<x_x_2$ и $x>x_3$). Приближённые значения корней: $x_1\approx-0{,}842917$, $x_2\approx 1{,}3021$, $x_3\approx 12{,}4312$.

Вложение:

Exp12.gif [ 7.04 Кб | Просмотров: 1130 ]

Вложение:

Exp34.gif [ 5.25 Кб | Просмотров: 1130 ]

dummy в сообщении #1444681 писал(а):

Но интересует не наглядная демонстрация решения, а вывод формулы.

Вы не поняли? На школьном уровне нет никакой формулы, а тем более — её вывода. При желании можно просто придумать какую-нибудь "нешкольную" функцию и обозначение для неё, и писать какие-нибудь формулы с этим обозначением. Легче Вам от этого не будет, поскольку вычислять-то придётся всё равно численными методами, которые в школе не изучают. Даже и для школьных функций: тангенс и арктангенс вполне школьные функции, но много ли найдётся школьников, которые смогут вычислить $\tg 1$ или $\arctg 2$?

[dummy]

Т.е. я правильно вас понял, что вывод такой формулы аналитически невозможен и можно использовать только численное решение?

Решал задачки из книги Кудрявцева из раздела "пределы последовательности" и возник вот такой вопрос. Просто мне кажется очевидно, что начиная с какого-то $n$ будет $a^n > n^2$, сколько бы $ a $ не было близко к 1. Но как это "очевидно" доказать и выразить формально, я не понял

[kotenok gav]

$n=1$, не?

[Dmitriy40]

dummy в сообщении #1444686 писал(а):

Просто мне кажется очевидно, что начиная с какого-то $n$ будет $a^n > n^2$, сколько бы $ a $ не было близко к 1. Но как это "очевидно" доказать и выразить формально, я не понял

Очевидно доказать можно примерно так: взять заведомо большое $n$ плюс взять производные обеих функций и доказать что экспонента растёт быстрее квадратичной. Собственно только второго уже достаточно для существования первого (такого $n$). Грубо ценить и экспоненту и квадрат можно простыми способами, потому и выбрать заведомо большое $n$ труда не составит. Засада лишь с точной границей.

Или взять $n=0$ для любого $a>0$.

-- 13.03.2020, 14:36 --

kotenok gav в сообщении #1444689 писал(а):

$n=1$, не?

Не прокатит для $0<a<1$.

[mihaild]

dummy в сообщении #1444686 писал(а):

Но как это "очевидно" доказать и выразить формально, я не понял

Для этого не обязательно находить $n$ явно! Напишем $a = 1 + \varepsilon$, тогда $a^n = (1 + \varepsilon)^n = 1 + n\cdot \varepsilon + \frac{n(n - 1)}{2}\cdot \varepsilon^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}\cdot \varepsilon^3 + \ldots$ (при $n \geqslant 3$). Можно сумму справа оценить снизу одним из слагаемых (нужно определить, каким), и явно найти, при каких $n$ уже это слагаемое само по себе будет больше чем $n^2$. А раз одно слагаемое больше чем $n^2$, и все слагаемые неотрицательны - то и вся сумма больше.

[kotenok gav]

Dmitriy40 в сообщении #1444691 писал(а):

Не прокатит для $0<a<1$.

Судя по

dummy в сообщении #1444686 писал(а):

сколько бы $ a $ не было близко к 1

, это не то.

[Dmitriy40]

kotenok gav
Вообще да, но "близко к $1$" оно может быть и слева ...

(Оффтоп)

mihaild
Это точно школьный метод? Разложение в ряд?

[kotenok gav]

Но если это надо читать так, то вряд ли человек станет просто выбрасывать $a>1$....
Тем более, при $a\leq1$ это очевидно неверно.