Какая мотивация стоит за свойствами сигма-алгебры?

[DaddyM]

Сигма-алгебра - фундаментальная конструкция на которой основана теория вероятностей. Я знаком с рядом монографий по теории вероятностей, в которых сигма-алгебра вводится определением безо всякой дискуссии, чисто инструментально как данность.

Я прошу помочь разобраться:

1. Как люди пришли к этой конструкции? Я имею в виду, как люди пришли к свойствам, которые описывают сигма-алгебру?
2. Почему свойства сигма-алгебры настолько уникальны в своей совокупности, что они получили специальное наименование в математике?

Если есть книги или интернет-ресурсы, где освещаются эти вопросы, дайте, пожалуйста, знать.

[Утундрий]

DaddyM в сообщении #1442269 писал(а):

Как люди пришли к этой конструкции? Я имею в виду, как люди пришли к свойствам, которые описывают сигма-алгебру?

Люди пробовали различные конструкции и ничего хорошего не получалось. А здесь взяло и получилось.

DaddyM в сообщении #1442269 писал(а):

Почему свойства сигма-алгебры настолько уникальны в своей совокупности, что они получили специальное наименование в математике?

В математике любят давать специальные наименования и для этого даже не требуется какой либо уникальности.

[Alexzord]

DaddyM в сообщении #1442269 писал(а):

Если есть книги или интернет-ресурсы, где освещаются эти вопросы, дайте, пожалуйста, знать.

Вот такое я себе когда-то сохранил в закладки, особенно пост от PAV понравился: https://dxdy.ru/post510354.html

[george66]

Сначала мы пытаемся определить меру на всех множествах. Она должна
1) сохраняться при движениях;
2) быть аддитивной: для не пересекающихся множеств $\mu(A\cup B) =\mu(A)+\mu(B)$
3) для возрастающей цепочки множеств $A_1\subseteq A_2\subseteq A_3\subseteq\ldots$ мера их объединения равна супремуму мер этих множеств (это позволяет нам вычислять площадь круга, вписывая в него многоугольники).
Последние два свойства можно заменить на счётную аддитивность
$\mu(A_1\cup A_2\cup A_3\cup\ldots) = \mu(A_1)+ \mu(A_2)+ \mu(A_3)+\ldots$
если все множества попарно не пересекаются. Нужна ещё некоторая аксиома нормировки (площадь квадратика равна единице), иначе годится "мера", которая конечному множеству точек сопоставляет число точек, а бесконечному бесконечность. Дальше доказывается, что такой меры не бывает. Доказывается существование множеств, которым нельзя приписать никакой меры без противоречия ("неизмеримые множества"). Доказательство использует сомнительную теоретико-множественную аксиому (аксиому выбора). Обсуждая тему, мы залезаем в самое болото теории множеств. Поэтому пошли по другому пути - вместо попытки измерить все множества вводят "большую совокупность множеств, которые точно измеримы", это и есть сигма-алгебра.

[Someone]

(george66)

george66 в сообщении #1442323 писал(а):

Доказательство использует сомнительную теоретико-множественную аксиому (аксиому выбора).

Не пугайте зря учащихся. Во-первых, подавляющее большинство людей, использующих математический анализ и вытекающие из него области математики, пользуется аксиомой выбора, даже не подозревая, что они ей пользуются, потому что её применение выглядит совершенно естественным, а для распознавания требуется некоторое целенаправленное обучение. Во-вторых, основная критика аксиомы выбора основана на её неконструктивности, а неконструктивные рассуждения и без неё встречаются сплошь и рядом. В третьих, неконструктивность аксиомы выбора ровно такая же, как неконструктивность рассуждения "множество $A$ непусто; возьмём любой элемент $x\in A$" (и не указано никакого конкретного элемента). В четвёртых, в конструктивной математике аксиома выбора в соответствующей формулировке тоже верна (есть какие-то ограничения на семейство множеств, зависящие от конкретного вида конструктивизма). Основания для этого следующие: если у нас имеется конструктивно заданное семейство множеств, и если эти множества непустые в конструктивном смысле, то есть, имеется конструктивный способ указать конкретный элемент в каждом из них, то почему бы и не превратить всё это конструктивное богатство в конструктивную функцию выбора?

И вообще, математический анализ совсем без аксиомы выбора превратится в нечто весьма странное, а счётная аксиома выбора, которой для математического анализа, изучаемого на первом-втором курсе, вполне хватило бы, ровно такая же неконструктивная.

Если Вы думаете, что "парадокс" Банаха–Тарского или существование неизмеримых множеств — это нечто такое, чего надо любой ценой избегать, то напрасно. Без аксиомы выбора появляются другие не менее странные вещи: множество действительных чисел вполне может оказаться объединением счётного семейства счётных множеств; появляются такие монстры, как бесконечные множества, "конечные по Дедекинду", в которых можно найти сколь угодно длинную последовательность попарно различных элементов, но нельзя найти бесконечную последовательность (выглядит это странно: Вы можете шаг за шагом строить последовательность, выбирая всё новые и новые элементы, никогда не наткнётесь на препятствие, но бесконечную последовательность построить не сможете; не надо говорить, что бесконечный процесс нельзя закончить, потому что речь идёт о классической математике, в которой любой процесс можно представить себе закончившимся).

В общем, испугавшись призраков, Вы хотите выкинуть аксиому, которая совершенно естественна и хорошо регуляризует теорию множеств.

[adfg]

(о выборе)

Someone писал(а):

И вообще, математический анализ совсем без аксиомы выбора превратится в нечто весьма странное, а счётная аксиома выбора, которой для математического анализа, изучаемого на первом-втором курсе, вполне хватило бы, ровно такая же неконструктивная.

Счётная-то как раз конструктивная. Счётность дает возможность построить нумерацию семейства (каким-либо алгоритмом), что позволяет пошагово обойти все его множества, и в каждом сделать выбор. То есть для каждого множества существует номер шага, на котором в нем осуществится выбор. Несчётная сделать такое в принципе не позволяет. При несчётном выборе возможность обойти все семейство в принципе невозможна, поэтому непонятно, как можно постулировать такой выбор, который вообще нельзя сделать.

Но важнее даже не это, а то что результаты полученные с помощью счётной, не находятся в противоречии со здравым смыслом. А из несчётной чего только не навыводили. И множества неизмеримые нашли, и равные двум своим копиям нашли. Не удивлюсь если в будущем найдут ещё что-нибудь, пожирающее самоё себя. Что было бы и не удивительно, ибо все эти множества в действительности не существуют, их существование разрешено лишь одной аксиомой, позволяющей делать выбор там где его в принципе сделать нельзя.

Можно удивляться лишь тому что за прошедшие 100 лет её ещё не выкинули на помойку, что можно объяснить лишь тем, что вероятно тяжело подобрать её аналог, который был бы настолько прост и удобен в формулировке, настолько и удачен в применении, не выдавая при этом феерического бреда, хотя известно что попытки были, так что остаётся только надеяться когда-нибудь вопрос с ней окончательно решат.

[george66]

(Оффтоп)

Дело в том, что мы сейчас воспринимаем теорию множеств как некий "язык C++", позволяющий определять структуры данных. Поэтому готовы принять любую удобную аксиому. А Борель и Лебег, видимо, изучали множества как некую реальность (Гёдель, кстати, сравнивал множества с электронами, которых тоже не видно, но они есть). Эти люди хотели "истинных" аксиом, а не удобных.

[--mS--]

Издевательство форменное: https://math.stackexchange.com/q/3564422/
Почему весь белый свет должен пересказывать то, что написано в любых книжках и что человеку лень прочитать?

[DaddyM]

--mS-- в сообщении #1442583 писал(а):

Издевательство форменное: https://math.stackexchange.com/q/3564422/
Почему весь белый свет должен пересказывать то, что написано в любых книжках и что человеку лень прочитать?

Оффтоп. Знаете книжку, рекомендуйте, за этим и пришёл. Не знаете - не засоряйте тред.

[ewert]

DaddyM в сообщении #1442269 писал(а):

как люди пришли к свойствам, которые описывают сигма-алгебру?

А что там за особые свойства?

Просто алгебра -- это то, что замкнуто относительно объединения и дополнения. Ну без этого просто никак и никуда. Другое дело, что в рамках "наивной" теории можно это и не формализовывать. Но подразумеваться эти свойства будут в любом случае.

Специфика именно сигма-алгебры -- замкнутость относительно не только конечных, но и счётных объединений. Ну так без неё не будут полноценными всякие предельные переходы. В частности, не будет полноты пространств, а без полноты плохо со всех точек зрения.

(Оффтоп)

adfg в сообщении #1442344 писал(а):

Можно удивляться лишь тому что за прошедшие 100 лет её ещё не выкинули на помойку

Отрицательный результат -- тоже результат, и аксиома выбора такие результаты даёт. Положительных не даёт (то, что даёт -- иллюзорно), но отрицательные -- вполне.

Скажем, она позволяет якобы построить неизмеримые по Лебегу множества. Да, якобы. Но это, во всяком случае, говорит вот о чём: если даже отказаться от этой аксиомы, то доказать измеримость всех множеств невозможно. А это уже содержательно.

[--mS--]

DaddyM в сообщении #1443738 писал(а):

Оффтоп. Знаете книжку, рекомендуйте, за этим и пришёл. Не знаете - не засоряйте тред.

Да ну, куда мне. Вы же уже прочли все те книжки, что Вам порекомендовали на MSE.