Дальняя стрельба

[DimaM]

Какой должна быть минимальная начальная скорость снаряда при стрельбе на расстояние $L$ на безатмосферной шарообразной планете радиуса $R$ и массы $M$? Под каким углом к горизонту нужно стрелять?
Можно считать $L=2R\varphi$, угол $\varphi$ не обязательно малый.

[realeugene]

DimaM в сообщении #1443225 писал(а):

$L=2R\varphi$

Зачем двойка?

[DimaM]

realeugene в сообщении #1443228 писал(а):

Зачем двойка?

Мне так удобнее считать было. Но можно и без нее.

[EUgeneUS]

$v=\sqrt{\frac{2GM}{R} \frac{\sin \varphi}{1 + \sin \varphi}}$

[DimaM]

EUgeneUS
У меня столько же получилось. Как решали?
А начальный угол какой?

[EUgeneUS]

DimaM в сообщении #1443258 писал(а):

Как решали?

1. Записал в полярных координатах уравнение на пересечение эллипса и окружности, центр которой совпадает с фокусом.
2. Получил семейство эллипсов, в котором нашел эллипс с минимальной большой полуосью.
3. Зная большую полуось, знаем полную удельную энергию на орбите.
4. Зная полную удельную энергию и потенциал в точке старта, находим удельную кинетическую энергию, а значит и скорость.

А угол по дороге не нашелся.

Но с углом каких-то затруднений быть не должно, так как все про орбиту знаем.

[DimaM]

EUgeneUS

(Оффтоп)

Мой способ, похоже, проще.
Я исходил из того, что вектор Лапласа-Рунге-Ленца должен быть направлен вдоль биссектрисы угла $2\varphi$, то есть проекция на перпендикуляр к биссектрисе нулевая. Отсюда сразу получается выражение для скорости при заданном начальном угле. Находим угол для минимальной скорости, он получается замечательно простым $\theta=\pi/4-\varphi/2$. Затем подставить его в исходное выражение, и готово.

[wrest]

Судя по граничным случаям (45 градусов на коротких расстояниях и ноль чтобы попасть в антипода), углы стрельбы бОльшие 45 градусов появиться не должны...

[DimaM]

wrest в сообщении #1443275 писал(а):

углы стрельбы бОльшие 45 градусов появиться не должны...

Такие углы появляются в реальности при учете атмосферы (выгодно закинуть снаряд повыше, где сопротивление воздуха меньше).

[wrest]

DimaM в сообщении #1443277 писал(а):

Такие углы появляются в реальности при учете атмосферы (выгодно закинуть снаряд повыше, где сопротивление воздуха меньше).

Да, об этом я слыхал.
Задача ваша хорошая, надо бы попробовать найти красивое школьное решение.

Насчет вектора Лапласа-Рунге-Ленца... Вроде бы как и ясно, что в задаче должна быть симметрия (орбита обязательно эллиптическая, кроме максимума $L$ где она круговая, и с апоцентром ровно посредине пути), но вот прям сразу это неочевидно.

[wrest]

wrest в сообщении #1443279 писал(а):

но вот прям сразу это неочевидно.

А нет, уже очевидно. Вроде все как и в однородном поле. Из-за обратимости времени, если при оптимальном полёте старт и финиш под разными углами, меняем их местами...

[Geen]

wrest в сообщении #1443408 писал(а):

wrest в сообщении #1443279 писал(а):

но вот прям сразу это неочевидно.

А нет, уже очевидно. Вроде все как и в однородном поле. Из-за обратимости времени, если при оптимальном полёте старт и финиш под разными углами, меняем их местами...

Только если сначала доказать, что оптимальный угол единственен.

[EUgeneUS]

Geen в сообщении #1443433 писал(а):

Только если сначала доказать, что оптимальный угол единственен.

Может я чего-то не понимаю...

Центр окружности совпадает с фокусом эллипса, а значит большая ось эллипса является осью симметрии. А значит угол пересечения эллипса и окружности в обеих точках пересечения одинаков. Отсюда следует, что не важно, под каким углом запустили снаряд, под оптимальным или нет - он воткнется в планету под тем же углом.

[wrest]

Второй фокус оптимального эллипса лежит на соединяющем старт и финиш отрезке (на его середине, ессно).
Это тоже как-то неспроста.

И вот ещё. Через центр планеты проводим прямую, параллельную прямой, соединяющей старт и финиш. Эта прямая где-то пересекается с поверхностью планеты. Соединяем эту точку пересечения и старт (или финиш, что ближе), получаем прямую, вдоль которой надо стрелять (т.е. касательную к оптимальному эллипсу в точке старта\финиша).

-- 06.03.2020, 23:20 --

(Оффтоп)

EUgeneUS в сообщении #1443471 писал(а):

Центр окружности совпадает с фокусом эллипса, а значит большая ось эллипса является осью симметрии. А значит угол пересечения эллипса и окружности в обеих точках пересечения одинаков. Отсюда следует, что не важно, под каким углом запустили снаряд, под оптимальным или нет - он воткнется в планету под тем же углом.

И правда. Вот скажет кто-то, и как глаза открылись...

[Geen]

EUgeneUS в сообщении #1443471 писал(а):

Может я чего-то не понимаю...

В процитированном мной про эллипсы не было...