2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство от четырёх переменных
Сообщение29.01.2020, 15:37 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Для положительных $a$, $b$, $c$ и $d$ докажите, что:
$$\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}+\frac{b^2+c^2+d^2}{b+c+d}+\frac{c^2+d^2+a^2}{c+d+a}+\frac{d^2+a^2+b^2}{d+a+b}\leq\frac{4(a^2+b^2+c^2+d^2)}{a+b+c+d}.$$
Это было сегодня на нашем тесте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от четырёх переменных
Сообщение30.01.2020, 08:21 
Заблокирован


16/04/18

1129
arqady -По поводу - всегда восхищаюсь Вашими неравенствами. Есть текст, где они (или часть) собраны и опубликованы вместе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от четырёх переменных
Сообщение30.01.2020, 10:22 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Вот, Амир Хуссейн собрал что-то, мои и Василе Кыртоаже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от четырёх переменных
Сообщение30.01.2020, 14:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
"В лоб", кажется, получается, с небольшими переобозначениями и перегруппировками.
Положим $S_1=a+b+c+d$, $S_2=a^2+b^2+c^2+d^2$. Нужно доказать, что $$4\frac{S_2}{S_1}\stackrel{?}{\geqslant}\frac{S_2-a^2}{S_1-a}+\frac{S_2-b^2}{S_1-b}+\frac{S_2-c^2}{S_1-c}+\frac{S_2-d^2}{S_1-d}.$$ Рассмотрим одну из четырёх составных частей, составляющих разность между левой и правой частями: $$\frac{S_2}{S_1}-\frac{S_2-a^2}{S_1-a}=\frac{a^2S_1-aS_2}{S_1(S_1-a)}=\frac{1}{S_1}\left[\frac{ab(a-b)+ac(a-c)+ad(a-d)}{b+c+d}\right]$$ Поскольку все части содержат в знаменателе $S_1>0$, избавимся от него. Вся разность состоит из четырёх таких частей, в числителях которых будут 12 слагаемых вида $ab(a-b)$. Перегруппируем их по этим числителям. Получится 6 сумм вида: $$ab(a-b)\left(\frac{1}{b+c+d}-\frac{1}{a+c+d}\right)=\frac{ab(a-b)^2}{(b+c+d)(a+c+d)}\geqslant 0.$$ Как-то слишком просто, не наврал ли я где-нибудь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от четырёх переменных
Сообщение30.01.2020, 16:20 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
worm2
Всё правильно! Я тоже имел в виду сумму квадратов, но другую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от четырёх переменных
Сообщение31.01.2020, 18:07 
Заблокирован


16/04/18

1129
Спасибо за приведённую ссылку на текст. По поводу неравенства. В тексте по ссылке есть подобное для суммы 3 слагаемых, здесь их 4. Напрашивается обобщение для любого числа дробей слева, оно есть или пока в процессе поиска?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от четырёх переменных
Сообщение31.01.2020, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Кажется, моё доказательство вполне обобщается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от четырёх переменных
Сообщение31.01.2020, 23:52 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
worm2, да, конечно.

novichok2018 Верно следующее.

Пусть $a_i>0$, $p\geq1$, $a_1^p+a_2^p+...+a_n^p=s^p$ and $a_1+a_2+...+a_n=t$. Докажите, что:
$$\sum_{k=1}^n\frac{s^p-a_k^p}{t-a_k}\leq\frac{ns^p}{t}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от четырёх переменных
Сообщение23.02.2020, 00:31 
Заблокирован


16/04/18

1129
В выражении $s^p$ - это действительно степень или индекс?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от четырёх переменных
Сообщение26.02.2020, 14:12 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
$p$ это показатель степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от четырёх переменных
Сообщение26.02.2020, 14:35 
Заблокирован


16/04/18

1129
Не понял тогда. Имеется в виду, что это равенство выполняется для одного фиксированного $p$? Как сформулировано, то для всех, что не имеет смысла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от четырёх переменных
Сообщение26.02.2020, 15:32 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
novichok2018 в сообщении #1441618 писал(а):
Не понял тогда. Имеется в виду, что это равенство выполняется для одного фиксированного $p$? Как сформулировано, то для всех, что не имеет смысла.
По-моему, все достаточно ясно сформулировано. Да, $p$ --- фиксированное число, больше либо равное единице. В принципе, в формулировке можно оставить только $a_i$ и $p$, но выражения станут более громоздкими.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от четырёх переменных
Сообщение26.02.2020, 17:17 
Заблокирован


16/04/18

1129
Всё-таки написано только $p\ge 1$, что можно понять и для любого и для некоторого. Хорошо, понял.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group