Неравенство от четырёх переменных

[arqady]

Для положительных $a$, $b$, $c$ и $d$ докажите, что:

$$\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}+\frac{b^2+c^2+d^2}{b+c+d}+\frac{c^2+d^2+a^2}{c+d+a}+\frac{d^2+a^2+b^2}{d+a+b}\leq\frac{4(a^2+b^2+c^2+d^2)}{a+b+c+d}.$$

Это было сегодня на нашем тесте.

[novichok2018]

arqady -По поводу - всегда восхищаюсь Вашими неравенствами. Есть текст, где они (или часть) собраны и опубликованы вместе?

[arqady]

Вот, Амир Хуссейн собрал что-то, мои и Василе Кыртоаже.

[worm2]

"В лоб", кажется, получается, с небольшими переобозначениями и перегруппировками.
Положим $S_1=a+b+c+d$, $S_2=a^2+b^2+c^2+d^2$. Нужно доказать, что

$$4\frac{S_2}{S_1}\stackrel{?}{\geqslant}\frac{S_2-a^2}{S_1-a}+\frac{S_2-b^2}{S_1-b}+\frac{S_2-c^2}{S_1-c}+\frac{S_2-d^2}{S_1-d}.$$

Рассмотрим одну из четырёх составных частей, составляющих разность между левой и правой частями:

$$\frac{S_2}{S_1}-\frac{S_2-a^2}{S_1-a}=\frac{a^2S_1-aS_2}{S_1(S_1-a)}=\frac{1}{S_1}\left[\frac{ab(a-b)+ac(a-c)+ad(a-d)}{b+c+d}\right]$$

Поскольку все части содержат в знаменателе $S_1>0$, избавимся от него. Вся разность состоит из четырёх таких частей, в числителях которых будут 12 слагаемых вида $ab(a-b)$. Перегруппируем их по этим числителям. Получится 6 сумм вида:

$$ab(a-b)\left(\frac{1}{b+c+d}-\frac{1}{a+c+d}\right)=\frac{ab(a-b)^2}{(b+c+d)(a+c+d)}\geqslant 0.$$

Как-то слишком просто, не наврал ли я где-нибудь?

[arqady]

worm2
Всё правильно! Я тоже имел в виду сумму квадратов, но другую.

[novichok2018]

Спасибо за приведённую ссылку на текст. По поводу неравенства. В тексте по ссылке есть подобное для суммы 3 слагаемых, здесь их 4. Напрашивается обобщение для любого числа дробей слева, оно есть или пока в процессе поиска?

[worm2]

Кажется, моё доказательство вполне обобщается.

[arqady]

worm2, да, конечно.

novichok2018 Верно следующее.

Пусть $a_i>0$, $p\geq1$, $a_1^p+a_2^p+...+a_n^p=s^p$ and $a_1+a_2+...+a_n=t$. Докажите, что:

$$\sum_{k=1}^n\frac{s^p-a_k^p}{t-a_k}\leq\frac{ns^p}{t}.$$

[novichok2018]

В выражении $s^p$ - это действительно степень или индекс?

[arqady]

$p$ это показатель степени.

[novichok2018]

Не понял тогда. Имеется в виду, что это равенство выполняется для одного фиксированного $p$? Как сформулировано, то для всех, что не имеет смысла.

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1441618 писал(а):

Не понял тогда. Имеется в виду, что это равенство выполняется для одного фиксированного $p$? Как сформулировано, то для всех, что не имеет смысла.

По-моему, все достаточно ясно сформулировано. Да, $p$ --- фиксированное число, больше либо равное единице. В принципе, в формулировке можно оставить только $a_i$ и $p$, но выражения станут более громоздкими.

[novichok2018]

Всё-таки написано только $p\ge 1$, что можно понять и для любого и для некоторого. Хорошо, понял.