Что подразумевалось о втором законе Кеплера в книге?

[frostysh]

Суть вопроса

Сначала перепечатаю слово в слово соответствующий абзац книги С. Вайнберга "Пояснюючи світ. Історія сучасної науки", страницы 296 ниже.

То яку ж площу покриває відрізок від Сонця до планети, коли кут $\theta$ змінюється на $\delta \theta$? Якщо ми вимірюємо кути у градусах, тоді це площа рівнобедреного трикутника з двома сторонами, що дорівнюють $r_{+}$, і третьою стороною, що дорівнює довжині дуги $2\pi r_{+} \times \delta \theta / 360^{\circ}$ окружності $2\pi r_{+}$ кола радіусом $r_{+}$. Ця площа дорівнює:

$$\delta A = - \dfrac{1}{2} \times r_{+} \times 2\pi r_{+} \times \dfrac{\delta \theta}{360^{\circ}} = - \dfrac{1}{2R}r_{+}^{2} \delta \theta.$$

Где $R = 360^{\circ} / 2\pi$, это потому-что пропорция в градусах а не в радианах, $a$ — это главная полуось эллипса, ну нашей орбиты планеты, $e$ — соответственно эксцентриситет, а угол $\theta$ есть угол между главной осью эллипса и отрезком который идет от фокуса где Солнце к планете, например отсчитанный по часовой стрелке.

Вопрос в том это изменения площади было треугольником или сектором окружности? Что подразумевалось?

Я лично думал что это треугольник который основой стоит на окружности, которая есть приближение эллипса, а один человек там с другого форума мне сказал что это есть площадь сектора, и что профессор Вайнберг обманул читателей и использует там дифференциальный анализ на всю катушку, а я с этим не согласен ибо не печаталось там ничего особенно о соответствующем анализе, а профессор довольно последователен в книге. Но возможно я ошибаюсь.

Попытки разобраться

Ну попыток было много, опишу здесь только часть из них. Проблема еще в том, что ваш покорный слуга продвигается черепашьими темпами по математике, и еще не успел повторить, точней выучить основную теорему дифференциального анализа, одну с основных точней, так называемую "теорему о двух милиционерах и бандите". По сей причине не могу точно посчитать там все и увидеть есть ли разница с тем что написано в случае если бы площадь была треугольником с основой на приближенной окружности а не сектором или чем-то таким.
И так, некоторая часть того, что я проделал в тетради в попытка разобраться, многое из того лишь детальные формулы того что написано в книге, только не детально, но есть и мои умозаключения и раздумия. Первое это откудова взялось последнее выражение в равенстве выше? Чтобы этом понять надо начертить рисунок.

Наша планета, ну не в смысле Земля, а в смысле вообще планета, движется по эллиптической орбите вокруг Солнца, которое пребывает в фокусе этого эллипса $+F$, планета пребывает в точке $M$ с координатами $\left(x, y\right)$. Центр собственных координат эллипса — $O$, длины малой и большой полуоси соответственно $b$ и $a$. Расстояние от Солнца до планеты $r_{+}$, а от пустого фокуса до планеты $r_{-}$, ну и углы обозначены $\varphi$ и $\theta$.

По определению эксцентриситета $F = ea$. Обозначив эксцентриситет эллипса как

$$e = \sqrt{1 - \dfrac{b^{2}}{a^{2}}},$$

то есть почему мы можем это так запечатать? Потому-что это вытекает из эллипса как линии создаваемой точками, сумма расстояний от каждой с которых до двух некоторых точек что не лежат на этой линии, есть постоянная. Потом записывается квадратные уравнения расстояния в собственных координатах и получается что эксцентриситет равен вот тому. Беря это обозначение, запишем расстояние к планете от фокуса где Солнце, через теорему Пифагора как

$$r_{+} = \sqrt{\left(x - ea\right)^{2} + y^{2}},$$

вспомним каноническое уравнение эллипса и уравняем его относительно $y^{2}$, и подставляя эксцентриситет так что

$$\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$

$$r_{+} = \sqrt{\left(x - ea\right)^{2} + \left(b^{2} - \dfrac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}\right)} = \sqrt{\left(x^{2} - 2eax + e^{2}a^{2}\right) + \left(1 - e^{2}\right)\left(a^{2} - x^{2}\right)} =$$$$= \sqrt{\left(x^{2} - 2eax + e^{2}a^{2}\right) +\left(a^{2} - x^{2} - e^{2}a^{2} +e^{2}x^{2}\right)} = \sqrt{a^{2} - 2eax + e^{2}x^{2}} = a - ex,$$

для расстояния от пустого фокуса будет сумма а не разница. Запишем теперь косинусы наших углов:

$$\cos{\varphi} = \dfrac{x + ea}{a + ex} \quad \cos{\theta} = \dfrac{ea - x}{a - ex}.$$

Уравняем относительно $x$ в формуле для угла тета, потому-что пустой фокус олицетворяет эквант Птолемея

$$\left(a - ex\right)\cos{\theta} = ea - x \quad x - ex\cos{\theta} = ea - a\cos{\theta}$$

и соответственно

$$x = \dfrac{a\left(e - \cos{\theta}\right)}{1 - e\cos{\theta}}.$$

Теперь выразим косинус от пустого угла через угол где Солнце:

$$\cos{\varphi} = \dfrac{ea +\dfrac{a\left(e - \cos{\theta}\right)}{1 - e\cos{\theta}}}{a + ea\dfrac{e - \cos{\theta}}{1 - e\cos{\theta}}} = \dfrac{\dfrac{\left(1 - e\cos{\theta}\right)ea + a\left(e - \cos{\theta}\right)}{1 - e\cos{\theta}}}{\dfrac{\left(1 - e\cos{\theta}\right)a + \left(e - \cos{\theta}\right)ea}{1 - e\cos{\theta}}} = \dfrac{2e - \left(1 + e^{2}\right)\cos{\theta}}{1 + e^{2} - 2e\cos{\theta}}.$$

Нужно посмотреть что будет если немного изменить угол для фокуса с Солнцем, как изменяться косинусы? Для этого конечно нужно привлекать дифференциальный анализ, но мы поступим сначала немного проще, а именно запишем следующую равенство для небольшого но не бесконечно малого изменения:

$$\delta \cos{\varphi} = \dfrac{2e - \left(1 + e^{2}\right)\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)}}{1 + e^{2} - 2e\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)}} - \dfrac{2e - \left(1 + e^{2}\right)\cos{\theta}}{1 + e^{2} - 2e\cos{\theta}} =$$$$= \dfrac{\left(2e - \left(1 + e^{2}\right)\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)}\right) \cdot \left(1 + e^{2} - 2e\cos{\theta}\right) - \left(1 + e^{2} - 2e\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)}\right) \cdot \left(2e - \left(1 + e^{2}\right)\cos{\theta}\right)}{\left(1 + e^{2} - 2e\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)}\right) \cdot \left(1 + e^{2} - 2e\cos{\theta}\right)} =$$$$= \dfrac{2e + 2e^{3} - 2e^{3}\cos{\theta} - \left(1 + e^{2}\right)\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)} - \left(1 + e^{2}\right)e^{2}\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)} + 2e\left(1 + e^{2}\right)\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)}\cos{\theta} -}{1 + e^{2} - 2e\cos{\theta} + e^{2} + e^{4} - 2e^{3}\cos{\theta} - 2e\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)} - 2e^{3}\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)} + 4e^{2}\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)}\cos{\theta}}$$$$\dfrac{- 2e + \left(1 + e^{2}\right)\cos{\theta} - 2e^{3} + \left(1 + e^{2}\right)e^{2}\cos{\theta} - 2e\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)}\left(1 + e^{2}\right)\cos{\theta}}{1 + e^{2} - 2e\cos{\theta} + e^{2} + e^{4} - 2e^{3}\cos{\theta} - 2e\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)} - 2e^{3}\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)} + 4e^{2}\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)}},$$

занулевывая все что умножается на эксцентриситет в степени больше единицы и складывая слагаемые, получаем

$$\delta\cos{\varphi} = \dfrac{2e\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)}\cos{\theta} - \cos{\left(\theta + \delta\theta\right)} + \cos{\theta} - 2e\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)}\cos{\theta}}{1 - 2e\cos{\theta} - 2e\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)}} = \dfrac{- \delta\cos{\theta}}{1 - 2e\left(\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)} + \cos{\theta}\right)}.$$

Не, наверное где-то ошибся, ибо должно было посчитаться изменение и сказаться что целесообразно для выведения формулы заменить эллипс кругом, ибо мы же не будем направлять эксцентриситет до единицы а изменение можем выбрать какое угодно малое. Черт, уже поздно... Но пока ошибки не вижу своей.

П. С. Чем начинает нравиться Латех, так это тем что если не умеешь акуратно все делать в тетради, то напечатав в этой Латехе, хоть и долго, зато намного легче видеть ошибки чем в каракулях...

[Утундрий]

frostysh в сообщении #1441359 писал(а):

это изменения площади было треугольником или сектором окружности? Что подразумевалось?

Это не важно в силу бесконечно-малости обсуждаемого.

[frostysh]

Утундрий в сообщении #1441360 писал(а):

Это не важно в силу бесконечно-малости обсуждаемого.

Я доказывал, возможно не правильно, этому человеку что мы эллипс заменяем кругом, а потом берем на нем маленькую дугу, и вот говорим что этот сектор по площади равно равнобедренному треугольнику и сторонами как радиус и основой как эта дуга, а потом опять превращает круг в эллипс и пишем формулы уже для эллипса но с той формулы которую мы для круга с треугольником получили. А человек тот говорил что профессор взял теорему о "двух милиционерах и бандите", нарисовал два сектора но не упомянул об этом. Как-то так, я завтра нарисую пару рисунков, если все окей, и конечно если до этого не пойму, чтобы разницу видеть лучше.

[Утундрий]

Вечно у вас всё слипается в какой-то непережёвываемый смысловой винегрет. Возьмите ментальную вилку и отделите от своего пельменного кома один пельмень.

[pogulyat_vyshel]

Может надо просто анализ выучить по нормальному учебнику и пользоваться теоремами, а не какими-то потусторонними соображениями

$$A=\int_Ddxdy=\int_Drdrd\varphi=\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}d\varphi\int_0^{r(\varphi)}rdr=\frac{1}{2}\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}r^2(\varphi)d\varphi\Longrightarrow dA=\frac{1}{2}r^2(\varphi)d\varphi$$

[frostysh]

Потерял слагаемое в числителе длинной дроби $\left(+ 4e^{2}\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)}\right)$, все ровно не получается как в тетради, у меня там все сократилось и можно было изменение посчитать. Наверное в тетради не правильно. Интересно что знак изменения косинуса угла тета получается противоположный знаку изменения косинуса угла фи, но это и так интуитивно понятно.

Утундрий

Я пытаюсь лучше организовывать свое мышление.

pogulyat_vyshel

То есть строгий подход с использованием полярной системы координат на плоскости и интегрирования в котором прямоугольник площади превращается в сектор круга, это дает тот же результат что и не строгие, и не особо правильные рассуждение при которых эллипс превращается в круг, а потом снова в эллипс, а площадь будет треугольником на круге? Если так, тогда выходит я верно думал!
Учу математический анализ, книга для техникумов а потом буду дальше Фихтенгольц первый том, начало продолжать.

[miflin]

frostysh в сообщении #1441446 писал(а):

Учу математический анализ,

Вот с этого и надо начинать, и только потом анализировать законы Кеплера.
Тогда не будете тратить столько времени на бессмысленно-громоздкие исследования.

[frostysh]

miflin

Но ведь в книге написано что треугольник, и ничего не сказано о теоремах дифференциального анализа, а результат выходит такой же. Вот я и подумал, что там нестрого а так.

[miflin]

frostysh в сообщении #1441515 писал(а):

Вот я и подумал, что там нестрого а так.

Там строго, хотя и слегка по-дурацки (на мой крайне субъективный взгляд).
Имел в виду вот это: $R = 360^{\circ} / 2\pi$

[frostysh]

Немного не строго, без интегралов в явном виде, но вот так находиться площадь маленького изменения, в случае нашего эллипса только не так как я думаю что подразумевалось в книге хотя с этого и начали. Сначала нарисуем рисунок.



Пусть площадь ограничена $ABC$ это начальная площадь $S$, соответственно площадь $AEBC$ есть $S + \delta S$. Нарисуем два круга с центрами в $A$, радиусами $AB$ и $AE$, площади секторов этих кругов при одинаковом секториальном угле $\delta\theta$ можно найти с пропорции

$$\dfrac{\delta\theta}{360^{\circ}} = \dfrac{S_{ADB}}{\pi \left(AB\right)^{2}} \quad \quad \dfrac{\delta\theta}{360^{\circ}} = \dfrac{S_{AEF}}{\pi \left(AE\right)^{2}},$$

уравнивая относительно площадей

$$S_{ADB} = \dfrac{\pi \left(AB\right)^{2}\delta\theta}{360^{\circ}} \quad \quad S_{AEF} = \dfrac{\pi \left(AE\right)^{2} \delta\theta}{360^{\circ}},$$

или же в обозначения выше

$$S_{ADB} = \dfrac{\left(AB\right)^{2}}{2R}\delta\theta \quad \quad S_{AEF} = \dfrac{\left(AE\right)^{2}}{2R}\delta\theta.$$

Все уменьшая и уменьшая угол $\delta\theta$, мы увидим что радиус большего сектора все ближе и ближе к радиусу меньшего, и соответственно площади их, а поскольку добавочная площадь $\delta S$, оно же площадь $AEB$ заключена между этими секторами, то и оно будет стремится к площади $S_{ADB}$. Кстати примечательно то, что такие кружки можно нарисовать для любой функции, точней линии, ну кроме тех которые имеют резкие перемены или чете такое, экзотическое, ну это с математического анализа всем известно. И еще то что мне говорил там один человек, вот эта добавочная секториальная площадь $S_{DEFB}$ может быть больше площади всего меньшего сектора, например в случае гиперболы, но потом оно просто быстрей убывает при уменьшении изменения угла.

Теперь нарисуем как ваш покорный слуга это видит, без секторов но с равнобедренным треугольником вместо всего матана...

[Утундрий]

frostysh в сообщении #1441535 писал(а):

ваш покорный слуга

Долго будет продолжаться это юродство?

[frostysh]

(Утундрий)

Утундрий в сообщении #1441536 писал(а):

frostysh в сообщении #1441535 писал(а):

ваш покорный слуга

Долго будет продолжаться это юродство?

Если честно не очень понимаю что такое "юродство" (я украинскую лучше знаю чем русский), посмотрю в словаре, но лично я так привык заменять местоимение "я" на форумах например, в реале редко, но тоже использую, чтобы постоянно не "якать". А чем плохо то?

Посмотрел, неа — в моем случае это не юродство, я лично не стараюсь себя унизить или что-то такое, наоборот. А мои познания в физике и математике, это "what you see what you get", то есть то что я печатаю это знания эти и есть, ну или их отсутствие... Я иногда специально, если меня там на форуме спрашивают, не подсматриваю никуда а отвечаю "с головы". У меня довольно своеобразный взгляд на жизнь и мир, и в нем нету смысла в самоунижении вашего покорного слуги или что-то подобного, просто если я начну опять тут печатать все подряд что в голове да извлекать свои взгляды всему свету-интернету, меня забанят, опять забанят точней, а этот форум мне (ну и еще там один форум, точней один человек с другого форума), очень неплохо помогает в самоучебе, по сему бана как бы и не хотелось бы...

[Утундрий]

(Оффтоп)

frostysh в сообщении #1441537 писал(а):

А чем плохо то?

Проходит по категории "эльфинга". Погуглите термин, это интересное явление.

[wrest]

frostysh
А вы, кстати, в курсе, что если тело движется равномерно по прямой, то радиус-вектор, проведенный из любой точки не лежащей на этой прямой, к телу, заметает за одинаковые промежутки времени одинаковую площадь?

[frostysh]

wrest

Я об этом не думал, но когда Вы напечатали, понял сразу о чем речь, так как не давно листал книжицу где площади движущегося треугольника между двумя параллельными прямыми рассматривались.



Поскольку движение равномерно, $\delta\ell$ одинаковое за равные промежутки времени, поскольку вершина треугольников вне линии траектории остается недвижимой, то и высота $h$ для все треугольников будет одинаковая. Отсюда находим что площади равны

$$S_{\triangle A} = S_{\triangle B} = S_{\triangle C} = \dfrac{1}{2}h \cdot \delta\ell.$$

Если Вы подразумевали что у нас на круге будет равномерное движение если всюду эти маленькие площади будут равны, то да, но во первых для нужно еще сказать что повсюду, во вторых мы же перейдем опять к эллипсу, это просто чтобы не с потолка взять площадь без использования дифференциального анализа, ну хотя профессор конечно знал откуда тама все, но насколько я понял, решил не использовать а придти к таким же выводам, только с помощью приближений и не строгих размышлений.
Теперь по поводу этих нестрогих рассуждений и верного результата. Мы берем эллипс, и стягиваем два фокуса в один, превращая ненадолго этот эллипс в окружность ну или круг, радиуса, допустим $r_{+}$, с центром в точке $A$, на рисунке ниже.



Теперь посмотрим чему будет равна площадь небольшого равнобедренного треугольника $\triangle ABC$, у с углом при вершине $\delta\theta$ который тоже не большой. Проведем высоту $AM$, которая также является биссектрисой и медианой. В силу малости треугольника, и наших не строгих рассуждений, допустим что $AM = r_{+}$, но чему же ровняется сторона $BC$? Опять же используем приближение что эта сторона равна длине дуги! То есть $BC = \stackrel{\smile}{BC}$, в свою очередь длину дуги можно найти с пропорции если знать радиус круга и угол, поэтому площадь треугольника находим как

$$S_{\triangle ABC}= \dfrac{1}{2}r_{+} \times \stackrel{\smile}{BC} = \dfrac{1}{2}r_{+} \times \dfrac{2\pi r_{+} \times \delta\theta}{360^{\circ}} = \pi r^{2}_{+} \times \dfrac{\delta\theta}{360^{\circ}},$$

или в наших обозначения

$$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2R}r^{2}_{+} \times \delta\theta.$$

То есть я с самого начала верно догадывался, и понимал что профессор использовал нестрогие рассуждения чтобы быть последовательным например, а не брать "из воздуха" ни весь матан, ни площадь нужную там. Ну как то так по идеи.

(Утундрий)

Утундрий в сообщении #1441539 писал(а):

frostysh в сообщении #1441537 писал(а):

А чем плохо то?

Проходит по категории "эльфинга". Погуглите термин, это интересное явление.

Погуглил, нет, это совсем не я и не мои мотивы, как впрочем и юродтсво тоже. Пользуясь советами людей, в том числе и модераторов этого форума (некто Лиа говорил мне вроде что надо быть лаконичней), я постараюсь объяснить что думаю об этом.

• В мире много людей, есть общества которые густонаселенные и развитые коммуникации, есть такие что нет.
• Но и там и там, в этих обществах, имеются некие более-менее закономерности в общении и поведении.
• Также должен быть некий процент людей, которые по каким-то причинам не умеют например общаться придерживаясь этих закономерностей.
• К сожалению большинство людей в обществе, и это наверное статистически доцильно (не знаю слова на русском), сразу же отбрасывают это объяснение и, опять же в угоду закономерностям, видят подвох в чем-то.

Мне лично это дико ибо не думаю что в случае форума вероятность того что человек так общается а не "тролит" ничтожно мала. Опять же к сожалению, идеи и мотивы популярные сейчас, как на мой опыт, созданные чтобы напрочь отбить в людей желание сомневаться. Ладно, в этом посте достаточно, ибо ща опять морально-философская тирада от меня начнется...