Точность гипотезы Харди-Литтлвуда о простых кортежах

[vicvolf]

Ошибка в определении количества простых кортежей на интервале $[2,x)$ по формулам гипотезы при достаточно больших значениях $x \geq x_0$ не превосходит ошибку округления до целого числа.

Например, для количества простых близнецов $x_0=10^5$.

На первый взгляд это удивительно, так как в условиях гипотезы делается предположение, что вероятность большого натурального числа $x$ быть простым равна:

$P= 1/\log(x)$, (1)

хотя известно, что такая вероятность вообще не существует.

Почему же такая высокая точность у данной гипотезы?

Дам свою версию ответа на этот вопрос.

Известно, что существует вероятность, равная плотности целочисленной строго возрастающей последовательности на конечном интервале (см. здесь - Заголовок: Противоречия гипотез о простых числах).

Поэтому, если обозначить $f$ - последовательность простых чисел, а плотность простых чисел $[2,x)-d(f,2,x)$, то вероятность натурального числа из интервала $[2,x)$ быть простым равна:

$Pr(f,2,x)=d(f,2,x)=1/\log(x)(1+o(1))=1/\log(x)+o(1/\log(x))$. (2)

Из сравнения (1) и (2) видно, что значения несуществующей и существующей вероятности отличаются на $o(1/\log(x))$.

Обозначим последовательность простых $k$- кортежей - $f_k$, а вероятность, что $k$ - кортеж состоит только из простых чисел - $P(f_k,2,x)$, тогда гипотезу Харди-Литтлвуда можно записать в виде:

$P(f_k,2,x) \sim C_k/\log^k(x)$, (3)

где $C_k$ - постоянная.

Формулу (3) можно записать в виде:

$P(f_k,2,x)=C_k(1+o(1))/\log^k(x)$. (4)

Если заменить несуществующие вероятности в (4) на существующие, учитывая (2), то получим:

$Pr(f_k,2,x)=C_k(1+o(1))(1+o(1))^k/\log^k(x)=$$C_k(1+o(1))/\log^k(x)=C_k/\log^k(x)+o(1/\log^k(x))$. (5)

Таким образом, можно указать такое достаточно большое $x \geq x_0$, что ошибка в (5) не будет превосходить ошибки округления до целого числа.

Хотелось бы услышать мнение участников форума по вопросу точности данной гипотезы.

[Dmitriy40]

Не поленился сделал табличку, число до, точное значение количества близнецов, значение по формуле гипотезы (считал Вольфрам), разница округлённого к ближайшему второго и первого:
$$\begin{tabular}{c|r|r|r} x & \pi_2(x) & approx(x) & \Delta \\ \hline 10^5 & 1224 & 1248.709 & +25 \\ 10^6 & 8169 & 8248.030 & +79 \\ 10^7 & 58980 & 58753.816 & -226 \\ 10^8 & 440312 & 440367.794 & +56 \\ 10^9 & 3424506 & 3425308.156 & +802 \\ 10^{10} & 27412679 & 27411416.532 & -1262 \end{tabular}​$$
И как видно ни о каком уменьшении ошибки менее $1$ речи пока не идёт ... Она даже как бы и растёт ... Так что сомнения возникают уже в части исходного утверждения:

vicvolf в сообщении #1439197 писал(а):

Ошибка в определении количества простых кортежей на интервале $[2,x)$ по формулам гипотезы при достаточно больших значениях $x \geq x_0$ не превосходит ошибку округления до целого числа.

Например, для количества простых близнецов $x_0=10^5$.

[vicvolf]

Dmitriy40 Вы правы. С этой фразой я погорячился. Точность гипотезы высокая, но не до ошибки округления.
Абсолютная ошибка действительно возрастает, но относительная убывает:
$10^5 - 0,0204;10^6-0,00967;$$10^7-0,00383;10^8-0,000127;10^9-0,000362;10^{10}-0,000046$ (за исключением $10^9$).

[Dmitriy40]

vicvolf
Про относительную точность согласен, должна убывать, иначе нет смысла говорить про асимптотику.
Дальше мысли вслух. Мне думается точность гипотезы основана на двух постулатах: а) частота простых падает; б) нет "выделенных" кортежей, они все более-менее равновероятны, потому и можно вероятность оценивать как произведение вероятности простых. Но вот с последним утверждением сложности, при поиске кортежей я постоянно сталкиваюсь что некоторые встречаются часто и относительно регулярно, а некоторые, вроде бы ничем от первых не отличающиеся, на порядки реже.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1439377 писал(а):

vicvolfДальше мысли вслух. Мне думается точность гипотезы основана на двух постулатах: а) частота простых падает; б) нет "выделенных" кортежей, они все более-менее равновероятны, потому и можно вероятность оценивать как произведение вероятности простых. Но вот с последним утверждением сложности, при поиске кортежей я постоянно сталкиваюсь что некоторые встречаются часто и относительно регулярно, а некоторые, вроде бы ничем от первых не отличающиеся, на порядки реже.

С а) согласен - частота простых падает с ростом интервала $[2,x)$ исходя из предположения гипотезы, как $1/\log(x)$. А вот с б) не согласен - равновероятна частота появления простого числа в кортеже, так как длина кортежа мала по сравнению с $x$, но даже для кортежа из пары простых чисел коэффициент при интеграле разный, например, у кортежей $(p,p+2)$ и $(p,p+6)$ - все зависит от расположения простых чисел в кортеже.

[Dmitriy40]

vicvolf
Кортежи $(p,p+2,p+6)$ и $(p,p+4,p+6)$ вроде бы одинаковы во всём, однако встречаются с немного разной частотой. Ещё более длинные (с большим количеством элементов) кортежи могут встречаться с разницей частоты на порядки. Например я видел кортежи длиной 25 элементов (и с одинаковым диаметром) с отличием по частоте на 4 порядка, в ~10000 раз!

Почему гипотеза хорошо аппроксимирует частоты я не знаю, это вопрос к обсуждению. Но вот что она "слишком общая", без учёта индивидуальных особенностей кортежей — это похоже факт.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1439400 писал(а):

vicvolf
Кортежи $(p,p+2,p+6)$ и $(p,p+4,p+6)$ вроде бы одинаковы во всём, однако встречаются с немного разной частотой. Ещё более длинные (с большим количеством элементов) кортежи могут встречаться с разницей частоты на порядки. Например я видел кортежи длиной 25 элементов (и с одинаковым диаметром) с отличием по частоте на 4 порядка, в ~10000 раз!

Почему гипотеза хорошо аппроксимирует частоты я не знаю, это вопрос к обсуждению. Но вот что она "слишком общая", без учёта индивидуальных особенностей кортежей — это похоже факт.

Напомню общую гипотезу Харди-Литтлвуда о простых кортежах.

Пусть кортеж имеет вид:

$n;n+2m_1;...,n+2m_1+...+2m_k$. (1)

Тогда количество простых кортежей (1) меньших $x$ определяется по асимптотической формуле:

$\pi(x,m_1,...,m_k) \sim C_k(m_1,...,m_k) \int_2^x {\frac {dt} {\log^k(t)}$, (2)

где $C_k(m_1,...,m_k)= \frac {\prod_{p \leq x} {1-w_k(p)/p}} {\prod_{p \leq x} {(1-1/p)^k}}$, (3)

а $w_k$ - количество решений сравнения:

$n(n+2m_1)...(n+2m_k) = 0(mod (p))$, (4)

где $p$ - произвольное простое число.

Поэтому, на основании (1-4) может быть одинаковое и разное количество кортежей одинаковой длины $k$ и одинакового диаметра $2(m_1+...+m_k)$ на одном интервале $x$ в зависимости от количества решений сравнения (4).

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1439400 писал(а):

Почему гипотеза хорошо аппроксимирует частоты я не знаю, это вопрос к обсуждению.

Давайте обсудим. От этого в первую очередь зависит точность гипотезы.

[Dmitriy40]

Без меня — предпочитаю ассемблер математике.
Но спасибо, из (4) понятна разница частот кортежей.

[vicvolf]

Рассмотрим арифметическую функцию количества натуральных чисел, обладающих определенным свойством - $Q(n)$, таких что их можно представить в следующем виде:

$Q(n)= \sum_{i=1}^n {x_i}$, (1)

где случайная величина $x_i=1$, если натуральное число $i$ обладает указанным свойством с вероятностью $P(x_i)=P(i)$ и $x_i=0$ в противном случае с вероятностью $P(x_i=0)=1-P(i)$.

Тогда математическое ожидание $M[x_i]=P(i)$ и соответственно среднее значение арифметической функции $Q(n)$ равно:

$M[Q,n]= \sum_{i=1}^n {M[x_i]}=\sum_{i=1}^n {P(i)} \approx \int_{i=1}^n {P(x)dx}$. (2)

Учитывая, что дисперсия независимых случайных величин $x_i$ - $D[x_i]=P(i)-P^2(i)$, получаем, что дисперсия арифметической функции $Q(n)$ равна:

$D[Q,n]=\sum_{i=1}^n {(P(i)-P^2(i))} \approx \int_{i=1}^n {(P(x)-P^2(x)) dx}$. (3)

Можно показать, что если независимые случайные величины $x_i$ имеют конечные абсолютные центральные моменты третьего порядка и ряд $\sum_{i=1}^{\infty} {(P(i)-P^2(i))}$ расходится, то выполняются условия Центральной предельной теоремы в форме Ляпунова и $Q(n)$ имеет асимптотическое нормальное распределение.

Теперь воспользуемся этим для простых кортежей.

[vicvolf]

Обозначим плотность простых $k$ - кортежей на интервале натурального ряда $[2,n)$ -$A_k(n)$.

Как я уже писал, существует вероятность, равная плотности строго возрастающей последовательности на конечном интервале натурального ряда. Поэтому существует вероятность появления простого $k$ - кортежа на интервале натурального ряда $[2,n)$:

$Pr(f_k,2,n)=A_k(n)=C_k/\log^k(n)+o(1/\log^k(n)$ или $A_k(n) \sim C_k/log^k(n)$. (4)

В случае простого $k$-кортежа $x_i=1$, если $i$ обладает свойством, что это первое простое число кортежа.

На основании (2), (4) можно записать, что среднее количество $k$- кортежей на интервале натурального ряда $[2,n)$ определяется по асимптотической формуле:

$M_k(n) \sim C_k \int_2^n {\log^{-k}(x)dx}$. (5)

Обратим внимание, что (5) совпадает с асимптотической формулой количества $k$ - кортежей в гипотезе Харди-Литтлвуда.

Учитывая, что ряд $\sum_2^{\infty} {(C_k/\log^k(n)-{C_k}^2/\log^{2k}(n))}$ расходится, то на основании Центральной предельной теоремы в форме Ляпунова, количество простых $k$- кортежей, при указанных выше предположениях, имеет асимптотическое нормальное распределение.

На основании (3) можно, например, записать формулу среднеквадратичного отклонения для количества простых близнецов на интервале натурального ряда $[2,n)$:
$\sigma_2(n) \sim \sqrt {C_2 \int_2^n {\log^{-2}(x)dx}-{C_2}^2 \int_2^n {\log^{-4}(x)dx}}$, (6)

где $C_2=1,32...$.

Расчеты по формуле (6) при $n=10^5$ дают $\sigma_2(10^5)=35$ при разнице между вычисленной по формуле гипотезы Харди-Литтлвуда и фактическим количеством простых близнецов $1249-1224=25$.

При $n=10^6$ - $\sigma_2(10^6)=90$ при разнице $8248-8169=79$.

При $n=10^7$ - $\sigma_2(10^7)=242$ при разнице $58754-58980=-226$.

Указанные расчеты вполне укладываются в нормальное распределение.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1440566 писал(а):

Можно показать, что если независимые случайные величины $x_i$ имеют конечные абсолютные центральные моменты третьего порядка и ряд $\sum_{i=1}^{\infty} {(P(i)-P^2(i))}$ расходится, то выполняются условия Центральной предельной теоремы в форме Ляпунова и $Q(n)$ имеет асимптотическое нормальное распределение.

А можно использовать другой частный случай центральной предельной теоремы (стр. 354 Ширяев А. И., Вероятность, 1979):
c) пусть имеются независимые случайные величины $x_i$ такие, что $|x_i| \leq K < \infty$, где $K$ - некоторая постоянная и $D_n \to \infty, n \to \infty$.

В нашем случае $K=1,D_n=D[Q,n]=\sum_{i=1}^n {(P(i) - P^2(i))} \to \infty,n \to \infty$, поэтому выполняется условия частного случая с) центральной предельной теоремы.

[hurtsy]

vicvolf в сообщении #1440566 писал(а):

независимых случайных величин $x_i$

Но ведь $x_i$ зависима от всех $x_k, k<i$.С уважением,

[vicvolf]

hurtsy в сообщении #1441331 писал(а):

vicvolf в сообщении #1440566 писал(а):

независимых случайных величин $x_i$

Но ведь $x_i$ зависима от всех $x_k, k<i$.С уважением,

Это предположение моей вероятностной модели простых кортежей. Даже для простых близнецов, такая модель достаточно хорошо описывает отклонение от их количества в соответствии с гипотезой Харди-Литтлвуда.

[hurtsy]

vicvolf в сообщении #1441445 писал(а):

Это предположение моей вероятностной модели простых кортежей.

Величины которые вы исследуете не случайные а псевдослучайные. Отсюда и модель ваша псевдослучайная, несмотря на ваш звучный термин - вероятностная модель. Теория вероятностей занимается случайными величинами. С уважением,