EXEЕсли у вас есть манипулятор, вы же не рассматриваете только один конкретный способ его движения? Тогда вам не удастся рассматривать только
(моменты времени, от которого зависит состояние манипулятора, жвущее в некотором многообразии). Кроме того такое отображение не биекция (ну кроме случая, когда то многообразие изоморфно промежутку
), так что непонятно, как это должно быть связано с вопросом ТС, и не очень понятно, что вы в точности имеете в виду кстати (мне пришлось додумывать) и каким образом это аргумент или контраргумент к чему.
При определении траектории движения координаты всех точек можно свести к зависимости от одной переменной. Это взаимно однозначное соответствие на подмножествах всей траектории движения, пусть под R будет время. При этом число управляющих параметров значения не имеет. Да, множество видов таких зависимостей бесконечно и несчётно для конкретной траектории.
Возможно, мой пример не является ответом на вопрос автора, но взаимно однозначное соответствие между точками пространства размерности N и размерности 1 в данном случае имеет место. Собственно, я сразу же на всякий случай сказал, что количество таких зависимостей бесконечно при решении одной и той же задачи.