Тупой вопрос и доказательство

[Soul Friend]

Nartu
Ежели вы хотите доказать аксиому на примерах конечного и бесконечного множеств, предлагаю посмотреть это видео:
Математика как очень сложный способ получения удовольствия

[Nartu]

какая аксиома? Знаю я этот ролик, но не смотрел... это Савватеев там, да?

[Soul Friend]

Аксиома свойства измерения отрезков, или аксиома свойств измерения углов.

Да, Савватеев.

[Nartu]

Soul Friend, посмотрю; хотел раньше, но не получилось.

На счёт остального, мне подкинули такой вариант формулировки:

Пусть $a_n=\left\lbrace{\alpha n}\right\rbrace, n\in\left\lbrace{0,1,\ndots,N}\right\rbrace \subset\mathbb{Z}$ , где $\left\lbrace{\cdot}\right\rbrace$ - дробная часть. Пусть последовательность $\left\lbrace{b_n}\right\rbrace$ это упорядоченая по возрастанию $\left\lbrace{a_n}\right\rbrace$, и $b_{N+1}=1$. Доказать, что $\forall{N}\in\mathbb{N}, \alpha\in\mathbb{R}, n\leqslant{N}$, среди чисел $c_n=b_{n+1}-b_n$
не более 3 различных.

[arseniiv]

Да, это почти то, что у меня.

Утундрий в сообщении #1441156 писал(а):

Как-то не верится в число три. Вы учли, что точка $0$ тоже входит в разбиение?

Учёл. Но у вас нет идеи контрпримера, получается? Я не могу его представить.

Nartu в сообщении #1441171 писал(а):

arseniiv, если можно решить без этого ограничения, так почему бы и нет? Просто изначально оно было, но я не против и "общего". Так интерестнее.

Тут как раз тот случай, что если снять ограничение, добавляется случай, который даже чуть легче разбирается, потому что начиная с какого-то шага мы станем попадать всегда в те точки, которые уже добавлены, и отрезков станет один вид по длине. Хотя до того ситуация та же, что и в случае иррационального $a[/2\pi]$.

Soul Friend
Не, тут сложнее.

Что ж, придётся видимо мне взяться уже за доказательство, раз никто не хочет. На самом деле я по-моему видел это или как задачу где-то, потому что выглядело как-то знакомо. Или я что-то такое читал про узоры из точек на архимедовой спирали, расположенных как раз там, где значения параметра кратны какому-то числу. Или про вид темпераций (музыкальных), где только два вида интервалов, которые получаются подобным прибавлением (но там не рассматривались те, где три вида интервалов, потому что видимо у них меньше интересовавших свойств, и потому темперацию доводили всегда до [не менее чем] двух, что кстати должно бы всегда быть возможным после любого числа шагов за ограниченное константой примерно $1/a$ число шагов, как я представляю). Да всё лень; кто-то может найти решение уже готовое, или кто-то помнит его часть, и вообще оно действительно должно по ощущениям быть всего в пару абзацев.

[Someone]

Nartu в сообщении #1441231 писал(а):

посмотрю

Не думаю, что будет польза для решения вашей задачи. Soul Friend плохой советчик. Лучше слушайте arseniiv.

[Nartu]

Someone, хорошо.
Но для общего развития, когда-то, - можно.

Мож я как-то попробую доказательство зделать? Это модульная арифметика, просто $\mathbb{R}$ вместо $\mathbb{Z}$?

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1441234 писал(а):

вид темпераций (музыкальных), где только два вида интервалов, которые получаются подобным прибавлением (но там не рассматривались те, где три вида интервалов, потому что видимо у них меньше интересовавших свойств, и потому темперацию доводили всегда до [не менее чем] двух

Вы угадали.

[arseniiv]

Можно попытаться сначала доказать, что через любое конечное число шагов после исходной единственной точки можно сделать ещё некоторое конечное число шагов и прийти в конфигурацию $AB\ldots AB(C)$ или $A\ldots A(B)$ (с точностью до циклической перестановки, конечно), где $A, B, C$ — разные длины, не большие чем $a$. Не могу как следует вообразить все остальные виды конфигураций, а это только и нужно для доказательства (плюс вероятно указания, какие из $A, B, C$ меньше, какие больше).

Nartu в сообщении #1441244 писал(а):

Вы угадали.

А что вы ещё скрываете?

-- Пн фев 24, 2020 20:09:40 --

Nartu в сообщении #1441244 писал(а):

Это модульная арифметика, просто $\mathbb{R}$ вместо $\mathbb{Z}$?

Можно действительно перевести всё в модульную арифметику (обычную, над $\mathbb R$ так и не зовут, и вроде особо не рассматривают) — только в случае рационального $a$. Интересный изначально иррациональный случай так не охватить.

[Утундрий]

arseniiv
Всё, разобрался. К моменту, когда могло бы появиться четвёртое расстояние отрезок оказывается снова поделен двумя длинами.

[arseniiv]

Утундрий в сообщении #1441261 писал(а):

К моменту, когда могло бы появиться четвёртое расстояние отрезок оказывается снова поделен двумя длинами.

Да, как-то так, но у меня до сих пор нет достаточно полной ясности насчёт динамики.

[Nartu]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1441248 писал(а):

А что вы ещё скрываете?

Много.

arseniiv в сообщении #1441248 писал(а):

Можно действительно перевести всё в модульную арифметику (обычную, над $\mathbb R$ так и не зовут, и вроде особо не рассматривают) — только в случае рационального $a$. Интересный изначально иррациональный случай так не охватить.

Иррациональный случай можно позже разобрать, был бы интерес...

Сначала мне в голову пришла мысль взять (фиксированое) $z\in\mathbb{C}:|z|=1$ и возносить его в степени $i\in\overline{1,n}, n<+\infty$, получая множество $\left\lbrace{z^n}\right\rbrace$. Главное - чувствовать, (главные) аргументы Каких степеней будут ближайшими. Но это не очень помогло.. Визуально ты видишь, что почти приблизив полный оборот, новая точка перепрыгивает одну из предыдущих, порождая новый отрезок но дальше всё повторяется до следующего "прыжка", пока новая точка не совпадёт с какой-то предыдущей или нет(иррационый шаг).

Были версии с полиномами... Сюда же версия, что пределом $n=\infty$ такого процесса будут все точки $\left\lbrace{z^n}\right\rbrace$ как чесные решения уравнения типа $\sqrt[a]{1}, a \notin \mathbb{Q}$
Даже рац-приближениями.
Я беседовал с участником demolishka о задаче "неоднородного линейного приближения".

demolishka в сообщении #1414642 писал(а):

Это приводит к задаче на окружности: сделать величину $|\alpha x - \beta|_{1}$ малой в смысле метрики $|\cdot|_{1}$ на окружности $\mathbb{T}^{1} = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$.

Но в той теме ничего, кроме тупогокомпьютерного перебора с оценкой нету.

Тщетно.

[arseniiv]

Nartu в сообщении #1441313 писал(а):

Сначала мне в голову пришла мысль взять (фиксированое) $z\in\mathbb{C}:|z|=1$ и возносить его в степени $i\in\overline{1,n}, n<+\infty$, получая множество $\left\lbrace{z^n}\right\rbrace$. Главное - чувствовать, (главные) аргументы Каких степеней будут ближайшими. Но это не очень помогло..

Да, все эти переформулировки, что с углами, что с комплексными числами, что моя с отрезком, одна не ближе другой для доказательства — это в принципе сразу было видно (ну, мне, про остальных не знаю). Как я уже сказал, я лично вижу единственный путь: рассмотреть все «конфигурации длин» (то есть каковы длины последовательно обходимых отрезков, рассматриваемые с точностью до равенства или неравенства, и возможно того, какие из них больше каких), которые могут получиться; убедиться, что во всех них не больше трёх разных длин; и всё: применение индукции нам сразу даст доказательство. Мне до сих пор не было времени все такие конфигурации постараться выписать, и это единственная и мизерная проблема этой задачи.

[Soul Friend]

Someone в сообщении #1441237 писал(а):

Soul Friend плохой советчик

Да, я без картинок кажется не понимаю о чём речь:
Найти специальный угол и построить прогрессию отвечающий условию?
Например: $a_{n+1}=a_n \cdot n$ где $a_1+a_2+a_3=2 \pi$ , $\{n>0 \in N\}$ ?

[Someone]

Soul Friend в сообщении #1441330 писал(а):

Найти специальный угол и построить прогрессию отвечающий условию?

Ничего даже отдалённо напоминающего.

Вложение:

3lengths.gif [ 5.02 Кб | Просмотров: 1409 ]

На единичной окружности последовательно откладываются точки, обозначенные здесь $0$, $1$, $2$, …, $n$ (на рисунке $n=10$); центральные углы между последовательными точками одинаковые (равны $\alpha$) и несоизмеримые c $\pi$. Они разбивают окружность на $n$ дуг. Нужно доказать, что число различных длин этих дуг не превосходит $3$. На рисунке разных длин ровно $3$.

Nartu в сообщении #1441244 писал(а):

Но для общего развития, когда-то, - можно.

Не имею ничего против. Я имел в виду только то, что для решения вашей задачи "аксиома свойств измерения" малополезна, особенно если учесть, что Вы не собирались "доказать аксиому на примерах конечного и бесконечного множеств". И что советчик явно не понимает, о чём идёт речь.

[Soul Friend]

Вот этот пример может быть контрпримером?
$a=4(\frac{2\pi}{11})+e-2.5$,
$n=5$
точки $C, C', C'', C''', D, D'$

на картинке последнюю точку $D''$ не учитывать.