Типа уравнение Маркова

[rightways]

Натуральные числа $x,y,k$ таковы, что

$$2x^2+y^2+1=xyk$$

.

Какое наибольшее значение может принимать $k$?

[Sonic86]

rightways в сообщении #1439885 писал(а):

Какое наибольшее значение может принимать $k$?

Железка нашла решение $(x,y,k)=(1389207107, 41487363, 67)$. М.б. и неограниченное.
upd fix: $(x,y,k)=(1389207170, 41487363, 67)$

[nnosipov]

rightways в сообщении #1439885 писал(а):

Какое наибольшее значение может принимать $k$?

Если $k$ четно, то $k=4$ (это более-менее очевидно). А вот нечетные значения $k$, по-видимому, ничем не ограничены. Это связано с тем, что период цепной дроби для $\sqrt{k^2-8}$ может быть нечетной длины довольно часто, как показывают вычисления.

А при чем здесь уравнение Маркова?

[Andrey A]

nnosipov
Марков не причем, снова Пелль: $n^2-(k^2-8)m^2=-1 \Rightarrow x=2m,y=km\pm n.$
$k$ — любое нечетное, если $k^2-8$ сумма двух квадратов.

p.s. насчет любого возможно погорячился, хотелось бы увидеть исключение.

[Andrey A]

Sonic86 в сообщении #1439932 писал(а):

... $(x,y,k)=(1389207107, 41487363, 67)$. М.б. и неограниченное.

Что-то тут не сходится. Не могут быть все три переменные нечетными, видно на глаз.

[nnosipov]

Andrey A в сообщении #1439970 писал(а):

если $k^2-8$ сумма двух квадратов

Во всяком случае, если $k^2-8$ --- простое число (что гипотетически возможно бесконечно много раз), то уравнение разрешимо.

[Sonic86]

Andrey A в сообщении #1439975 писал(а):

Sonic86 в сообщении #1439932 писал(а):

... $(x,y,k)=(1389207107, 41487363, 67)$. М.б. и неограниченное.

Что-то тут не сходится. Не могут быть все три переменные нечетными, видно на глаз.

Ага, пофиксил: $x$ оканчивается на $170$.

[nnosipov]

Вот похожий сюжет: topic134309.html

[Andrey A]

nnosipov в сообщении #1439976 писал(а):

... то уравнение разрешимо.

Всё из той же категории вещей практически очевидных, но не доказанных.

[dmd]

Равносильно Пеллю $(4 x - k y)^2 - (k^2 - 8) y^2 = -8$

(некоторые начальные решения (k,x,y))

(4, 1, 1)
(4, 1, 1)
(4, 5, 3)
(4, 1, 3)

(5, 2, 9)
(5, 130, 593)
(5, 2, 1)
(5, 130, 57)

(7, 10, 67)
(7, 40970, 274563)
(7, 10, 3)
(7, 40970, 12227)

(9, 250, 57)
(9, 1140624250, 260060193)
(9, 250, 2193)
(9, 1140624250, 10005558057)

(11, 146, 27)
(11, 351670930, 65033483)
(11, 146, 1579)
(11, 351670930, 3803346747)

(17, 126890, 15033)
(17, 574101275893708330, 68015324140911137)
(17, 126890, 2142097)
(17, 574101275893708330, 9691706366052130473)

(19, 7586, 803)
(19, 154103754735010, 16312327177827)
(19, 7586, 143331)
(19, 154103754735010, 2911659012787363)

(21, 694966754, 14527811601)
(21, 145338269187605459809403684450, 3038198562766004551118490242793)
(21, 694966754, 66490233)
(21, 145338269187605459809403684450, 13905090173710104878987130657)

(23, 11248618, 257736347)
(23, 741541103354125913955818, 16990717893419606153319627)
(23, 11248618, 981867)
(23, 741541103354125913955818, 64727483725289867664187)

(25, 3301978, 265009)
(25, 22213024220820904492250, 1782765159469644029193)
(25, 3301978, 82284441)
(25, 22213024220820904492250, 553542840361052968277057)

(31, 177959354, 5505234731)
(31, 5371002596828457262924774330, 166153840029961073998843167483)
(31, 177959354, 11505243)
(31, 5371002596828457262924774330, 347240471721101151824836747)

(35, 1583938, 90659)
(35, 4836209572063992499010, 276807503572527443043)
(35, 1583938, 55347171)
(35, 4836209572063992499010, 168990527518667210022307)

(37, 718676917058, 26552141610833)
(37, 505195197697240655613922549015382200258, 18664874454688162296187956014497320944553)
(37, 718676917058, 38904320313)
(37, 505195197697240655613922549015382200258, 27347860109741961527178299071820464993)

(45, 4743392230761615119582962, 213241624324739524694461089)
(45, 215264796016734568074529127430110597729135798710233571858135635641318331026290, 9677339028565173134246610437662883393817358442004820133475479538982068007146393)
(45, 4743392230761615119582962, 211026059533155686772201)
(45, 215264796016734568074529127430110597729135798710233571858135635641318331026290, 9576792187882429107200296692093503993752499955690600140624064877256889036657)

(49, 15708832234, 641711809)
(49, 9276291837771937111552233036350570, 378940071888004625135927644775097)
(49, 15708832234, 769091067657)
(49, 9276291837771937111552233036350570, 454159359978936913840923491136402833)

(51, 8994425578716426863906, 352994210359659381147)
(51, 1886786737808382189696237580329751659053386481050331294047533664519970, 74048619203183664707189011836095060624104481004870321338365590702603)
(51, 8994425578716426863906, 458362710304178110678059)
(51, 1886786737808382189696237580329751659053386481050331294047533664519970, 96152075009024308009800927584981239551098606052562025675085851299815867)

(53, 261255743108807200802, 13836688648094773301313)
(53, 49947142537447275809441977020617866198980242903557903495199549602, 2645312412768048711566043851150538874252054994242694193768072368633)
(53, 261255743108807200802, 9865736672008341193)
(53, 49947142537447275809441977020617866198980242903557903495199549602, 1886141716656906334380930942208034293897879645874691477503760273)

(63, 983732178636857037242, 61943881908513370273923)
(63, 3770817167074127800592592469241677266113663919482519094643876557242, 237441712661571875674343117005488641514175976784529063370889280355523)
(63, 983732178636857037242, 31245345608623072323)
(63, 3770817167074127800592592469241677266113663919482519094643876557242, 119768864098175762990208556737026250984850142869639591674942750723)

(65, 765078764865482, 23552039249689)
(65, 1888521986143986889450615354583604079284061032010, 58135901797488955626849927246590298973466768193)
(65, 765078764865482, 49706567677006641)
(65, 1888521986143986889450615354583604079284061032010, 122695793197561658858663148120687674854490500312457)

(67, 1389207170, 41487363)
(67, 12013678134006676459579396431490, 358777176272922368067634898947)
(67, 1389207170, 93035393027)
(67, 12013678134006676459579396431490, 804557657802174400423751926010883)

(73, 3093673284946810, 84790006250097)
(73, 157549344300099987857659655415096606732197410520570, 4318041582769732830485530110233960215191182358473)
(73, 3093673284946810, 225753359794867033)
(73, 157549344300099987857659655415096606732197410520570, 11496784092324529380778669315191818331235219785643137)

(75, 1314146801976082, 35056383646299)
(75, 12747824369340462966323841558652925047085224129810, 340062937470339401673293532234063742935545271243)
(75, 1314146801976082, 98525953764559851)
(75, 12747824369340462966323841558652925047085224129810, 955746764763064383072614823366735314788456264464507)

(81, 13635036734433582491848983743357800445428851117866, 336770263213894333555732235219422180315233568377)
(81, 16611509730170702586701910484920570228328880900564600609683483941718183160799345883110092113230195186086815722113195367896542106209010909794316985918890, 410285840307429683753205278208099295646160081679384499281847403182979498143448141843920370248231104780431742206039304301000152478810817742460278121313)
(81, 13635036734433582491848983743357800445428851117866, 1104101205225906287506211950976762413899421706978769)
(81, 16611509730170702586701910484920570228328880900564600609683483941718183160799345883110092113230195186086815722113195367896542106209010909794316985918890, 1345122002303519479839101544000358089198993192864053264885080351875989856526603568390073540801397578968251641748962785495318910450451072875597215581308777)

(87, 30396933071326510547297576446748273276549340382841718926265000907095850, 2643834212394518475248081107277000977346926105291282775417520350901023043)
(87, 212357957618880846718793713064612284039975427081773754836652162311668482096172118309155520709923430745221490017681858702659466054601394256468132141122259242702527803035887390091598548168630303154617956382406340337450, 18470259230087563030359388026398908501970046701706516668666390812838384440465669255056043527382846334456726094609474486922925213569153964835786928349315789534571009103526625930450143873998663784889718995958118140005507)
(87, 30396933071326510547297576446748273276549340382841718926265000907095850, 698964810887942366808043590098797712866508015946771167534728016315907)
(87, 212357957618880846718793713064612284039975427081773754836652162311668482096172118309155520709923430745221490017681858702659466054601394256468132141122259242702527803035887390091598548168630303154617956382406340337450, 4883082755070634175665010222360209507815454407800002122347308276773501901305037840486774380492140377543536928847220208448333181167335476940567928320764580548909760595577007518929816672172589562043209311233469352643)

(89, 14832585032794, 333400720329)
(89, 25822108760040521746358475435238780395643610, 580418695862996251114273450255014316535377)
(89, 14832585032794, 1319766667198337)
(89, 25822108760040521746358475435238780395643610, 2297587260947743439174790040285996440895745913)

(91, 948240864226919794, 20845494306466611)
(91, 7053733151969120773223715388577685934170735851495939476850, 155064561975595127680167620796911876350123774973163380243)
(91, 948240864226919794, 86269073150343234643)
(91, 7053733151969120773223715388577685934170735851495939476850, 641734652267214395235677932739772508133186838711157329013107)

(93, 990036316525335572632702994149938766884963378858931413000338, 92052081407629044679438993126133421594828788403350056697239377)
(93, 8385276391611981012890583231209733436039343509601224177432028303752333436016440228273470166003610992915516345603245814130518869668774132870364904828472933337955539859918098909984651538, 779650334176789881409632085931164293423873882731759664013212163956811320650310245649593092240290316093443821281188565767379726070289549191260992540606059164329059992675286951436760051497)
(93, 990036316525335572632702994149938766884963378858931413000338, 21296029227163575402385329810883725472805830530564711792057)
(93, 8385276391611981012890583231209733436039343509601224177432028303752333436016440228273470166003610992915516345603245814130518869668774132870364904828472933337955539859918098909984651538, 180370243124352789192154571340916127785063661154184487966468292155688899218695579839633198045506247699198859913294946758528808906445165682943608441923636100805214297096247191812541537)

Не для всех $k$ есть решения, но сверху вроде ни чем не ограничено.

[nnosipov]

Andrey A в сообщении #1439981 писал(а):

но не доказанных

Что имеется в виду? Уравнение $x^2-py^2=-1$ с простым $p \equiv 1 \pmod{4}$ всегда разрешимо, и это легко доказать.

[Andrey A]

nnosipov
А бесконечность простых вида $k^2-8$?

[nnosipov]

Нет, не доказана, насколько мне известно.

[Sonic86]

Andrey A в сообщении #1439985 писал(а):

nnosipov
Но бесконечность простых вида $k^2-8$ доказана?

Это - частный случай гипотезы Буняковского и Бейтмана-Хорна:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0 ... 0%B3%D0%BE

[nnosipov]

Вот еще: http://oeis.org/A028885