Типа уравнение Маркова

[rightways]

Я тут кое-что мутил, и доказал что $k<8$. Но у меня где то точно есть не найденная мной ошибка. Вы не могли бы указать где:
Пусть $N_2=\{1/2, 1, 3/2, 2,...\}$ это множество всех чисел вида $n/2$ где $n$ натуральное число. Заметим что $N\in N_2$ Докажем, что уравнение

$$2a^2+b^2+1=kab$$

....(1)
не имеет решении в множестве $N_2$ при фиксированным натуральным $k>7$.
В противном случае пусть ( a,b) минимальное решение с наименьшей суммой $a+b$.
1) Пусть $a\ge b$ Тогда

$$2a^2-kba+b^2+1=0$$

Пусть $a,a_1$ корни трехчлена

$$f(x)=2x^2-kbx+b^2+1=0$$

Тогда по Виета $a+a_1=kb/2$ и $aa_1=\frac{b^2+1}{2}$. Откуда следует что $a_1\in N_2$. Тогда $(a_1,b)$ тоже решение уравнения (1) и следовательно $a_1\ge a$ Однако

$$f(b)=2(b-a)(b-a_1)\ge 0$$

,
Но $f(b)=3b^2-kb^2+1\ge 0$ откуда $1\ge b^2(k-3)\ge 5/4$ противоречие.
2) при $b>a$ аналогично : $g(a)=(a-b)(a-b_1)>0$ откуда $3a^2+1>ka^2>7a^2=3a^2+4a^2\ge 3a^2+1$ противоречие.
Значит при $k>7$ решении в $N_2$ нет, значит и в натуральных тоже нет.

[nnosipov]

rightways в сообщении #1440076 писал(а):

Откуда следует что $a_1\in N_2$.

Вот, например, темное место. Ведь априори и $a$, и $b$ могут оказаться полуцелыми, и тогда на каком основании делается вывод о том, что $a_1$ не более чем полуцелое число?

Еще один вариант поиска ошибки: можно взять, например, $k=9$ и найти эту экстремальную пару $(a,b)$, после чего проследить, в каком месте Вашего рассуждения будут проблемы.

[rightways]

А да, все понял, $a_1$ может оказаться вида $n/4$
. Спасибо