Определение длины стороны произвольного четырехугольника

[OnlyU]

Здравствуйте всем.
Дан четырехугольник с заданными длинами e и f двух диагоналей и длинами a,b,c трех сторон. Требуется определить неизвестную длину d.

В роде простая задача, получаю не то.

На https://ru.wikipedia.org/wiki/Четырёхугольник говорится, что:
" Шесть расстояний между четырьмя произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением:
$a^2c^2(b^2+d^2+e^2+f^2-a^2-c^2)+b^2d^2(a^2+c^2+e^2+f^2-b^2-d^2)+e^2f^2(a^2+b^2+d^2+c^2-e^2-f^2)=(abe)^2+(bcf)^2+(cde)^2+(daf)^2$
"
Я его применил, но получаю два значения для квадрата искомой длины, что вроде не должно быть. Я ожидал одно значение.
Может я не правильно понимаю.

Вообще есть по проще способ решения задачи? Тригонометрия?

[svv]

Цветные — стороны. Красная — сторона с неизвестной длиной. Серые — диагонали.

[svv]

OnlyU в сообщении #1439695 писал(а):

В роде простая задача

Хуже того: если в задаче даны длины трёх сторон $a,b,c$ и длины двух диагоналей $e,f$ без какой-либо дополнительной информации, то возможно до $12$ различных решений — различных длин стороны $d$. Попробуйте догадаться, почему.
Подсказка: можно ли утверждать, что Ваши величины $a,b,c,d,e,f$ прямо соответствуют тем $a,b,c,d,e,f$, что в формуле из Википедии?

[OnlyU]

Спасибо svv

svv в сообщении #1439745 писал(а):

Подсказка: можно ли утверждать, что Ваши величины $a,b,c,d,e,f$ прямо соответствуют тем $a,b,c,d,e,f$, что в формуле из Википедии?

А в роде не зависит от обозначения сторон. Может быть я не прав.

[svv]

Это легко проверить: если Вы значения $a,b,c$ циклически поменяете местами, либо поменяете местами значения $e,f$, у Вас получится новая пара решений.

Это потому, что если Вы хотите напрямую пользоваться формулой из Википедии, обозначения сторон и диагоналей треугольника нельзя выбирать как попало (о чём там не сказано). Оказывается, та формула подразумевает, что:
1) стороны $a$ и $c$ являются смежными со стороной $b$ (никто не запрещает "расставить" обозначения иначе, но тогда формула будет неверна).
2) диагональ, которая соединяет вершину, где сходятся $a$ и $d$, с вершиной, где сходятся $b$ и $c$, должна называться $e$.
3) диагональ, которая соединяет вершину, где сходятся $a$ и $b$, с вершиной, где сходятся $c$ и $d$, должна называться $f$.

Но даже при фиксированных обозначениях сторон и диагоналей Вы можете получить 2 различных решения, как показано на моей картинке.

[OnlyU]

svv в сообщении #1439768 писал(а):

Но даже при фиксированных обозначениях сторон и диагоналей Вы можете получить 2 различных решения, как показано на моей картинке.

Но это значит один из ответов не верен. Так как при фиксированных обозначениях сторон и диагоналей, длина неизвестной стороны должна быть однозначна.

[svv]

OnlyU
Давайте сверимся на примере четырехугольников, которые на картинке.
Пусть сторона $a$ фиолетовая, $b$ тёмно-зелёная, $c$ синяя, $d$ красная.
Диагональ, которая соединяет $a$ и $b$ — это $e$.
Диагональ, которая соединяет $a$ и $d$ — это $f$.
Так как в формулу входят только квадраты сторон и диагоналей, а у нас они целые, удобно сразу квадраты и задавать.
Я специально нарисовал всё на листе в клеточку, чтобы по теореме Пифагора можно было быстро найти квадраты всех длин. Они совпадают на левом и правом четырёхугольнике (всё честно!):
$a^2=16\quad b^2=25\quad c^2=98\quad e^2=41\quad f^2=53$
Вот при этих условиях какие два значения для $d^2$ у Вас получаются?

[OnlyU]

$d^2=13 \vee d^2=125$
Причем, по моему оба не возможны.
Длины - это расстояния между 4 точками плоскости.
четырехугольник же однозначно определяется пятью известными расстояниями между его вершинами?
Вопрос какой из них выбрать из каких соображений?

[ИСН]

OnlyU в сообщении #1439782 писал(а):

четырехугольник же однозначно определяется пятью известными расстояниями между его вершинами?

Нет. С чего бы? Вот перед Вами рисунок. Всё дано. Их два. Каким образом они невозможны?

[OnlyU]

Спасибо большое, я понял.