Жёсткость пружины

[artur_k]

angor6 в сообщении #1439254 писал(а):

(Оффтоп)

Для общего развития хотелось бы узнать, где рассматриваемые Вами пружины применяются и каковы их преимущества по сравнению с цилиндрическими винтовыми. Сообщите, пожалуйста, если это не секрет.

(Оффтоп)

В магазине автомата Калашникова, например. Цилиндрическая в этой конструкции выгибалась бы в бок при сжатии, перекашивала и клинила подающую пластину.

[spamfolder]

AnatolyBa в сообщении #1439299 писал(а):

Именно это я вам и предложил. Вывести формулу. Самому. На основе утверждений немецких инженеров.
И наметил путь. По моим прикидкам, если учитывать только кручение, точность формулы будет порядка 30 процентов.

Хорошо, допустим в основании пружины лежит прямоугольник со сторонами $a=50 mm$ и $b=25 mm$. В состоянии покоя пружина имеет $n=12$ витков, а её высота равна $h=150 mm$.
Предположим, пружина имеет постоянный угол наклона (хотя это немного некорректно для прямоугольных пружин, но для простоты расчёта примем такое допущение). Следовательно, шаг вращения пружины равняется $l=\frac{h}{n}=\frac{150}{12}=12,5 mm$



Воспользуемся данной формулой для расчёта угла спирали. Для среднего диаметра спирали возьмём наибольший размера прямоугольника $d_m = a = 50 mm$. Следовательно, угол спирали $\gamma = \arctg (\frac{l}{\pi \cdot d_m}) = \arctg (\frac{12,5}{157,08}) = 4,55°$. Вот мы и посчитали угол, подскажите теперь как считать удлинение?

[AnatolyBa]

Я не это имел в виду.
Рассмотрим сторону прямоугольника, скажем $a$. Предположим изгибом можно пренебречь, а кручение существенно.
На сторону $a$ действует крутящий момент со стороны $b$. Первое утверждение - крутящий момент равен $M=F b$, согласны?
Теперь надо вычислить угол $\varphi$ на который скрутится сторона $a$ под действием этого момента - попробуйте сами.
Далее, из-за $\varphi$ сторона $b$ повернется на этот же угол вокруг оси совпадающей с $a$ и противоположая сторона $b$ сдвинется на $\varphi b$
(все углы предполагаются малыми). То же рассуждение для всех "балок" этой пружины даст суммарное удлинение - в зависимости (линейной) от $F$.

Обратите внимание. Я отношусь к вашему вопросу как к просьбе помочь с решением физической задачи, а не как к просьбе о практическом совете.
В соответсвии с правилами этого форума

[spamfolder]

AnatolyBa в сообщении #1439328 писал(а):

Далее, из-за $\varphi$ сторона $b$ повернется на этот же угол вокруг оси совпадающей с $a$ и противоположая сторона $b$ сдвинется на $\varphi b$
(все углы предполагаются малыми). То же рассуждение для всех "балок" этой пружины даст суммарное удлинение - в зависимости (линейной) от $F$.

feedinglight в сообщении #1439191 писал(а):

Не обязательно МКЭ, там в начале стержни так и сяк разжёваны, на стр. 24 может формула пригодится и прочее, я не читал, просто вспомнил что такое есть. Если не то - извините.

Хорошо, берём формулу угла поворота концевых сечений стержня из предложенного источника.



Угол кручения для полного витка пружины будет равен $\varphi=\frac{F\cdot a\cdot b}{G\cdot J_p} + \frac{F\cdot b\cdot a}{G\cdot J_p} $. Допустим, приложенная сила $F=10 N$, диаметр прутка пружины $d=2 mm$ (следовательно $J_p=1,5708 mm^4$), модуль сдвига стали $G=80 GPa$. Подставляем все исходные данные в формулу, получаем $\varphi = 2\cdot \frac{10\cdot 50\cdot 25}{80\cdot 10^3 \cdot 1,5708 mm^4}= 0,1989 rad$. Так как у пружины 12 полных витков, справедливо утверждать, что общий угол поворота будет равен $\varphi_{12} = \varphi \cdot n = 2,3873 rad$, либо 136,78°.

Поймите, я - инженер и я решаю практические проблемы. Мне не до конца понятно как вы предлагаете использовать угол поворота прутков пружины для вычисления деформации?

[feedinglight]

spamfolder
Как-то углы странно складываются, тяжело понять, он вроде одинаковый везде, этот угол, может быть скраю только отличается. Сколько балок на 1 виток? Просто если внимательно подставить в формулы нормально должно получиться.

(Оффтоп)

Поймите, я инженер, и такие сложные формулы - это слишком сложно для меня.

[spamfolder]

feedinglight в сообщении #1439352 писал(а):

spamfolder
Как-то углы странно складываются, тяжело понять, он вроде одинаковый везде, этот угол, может быть скраю только отличается. Сколько балок на 1 виток? Просто если внимательно подставить в формулы нормально должно получиться.

Начертил пояснительную схему на скорую руку. На самом деле момент кручения для короткого стержня должен быть равен $\varphi= \frac{M \cdot l}{G\cdot J_p} =\frac{F\cdot \frac{a}{2} \cdot b}{G\cdot J_p}$, где:
$\frac{a}{2}$ - это рычаг силы, равный половине длинны пружины (т.к. сила приложена к геометрическому центру пружины);
$b$ - ширина пружины (в книжке - длина кручёного стержня).

В свою очередь для длинного стержня $a$ и $b$ меняются местами и угол кручения длинного стержня преобразуется следующим образом $\varphi= \frac{M \cdot l}{G\cdot J_p} =\frac{F\cdot \frac{b}{2} \cdot a}{G\cdot J_p}$, где:
$\frac{b}{2}$ - это рычаг силы, равный половине ширины пружины (т.к. сила приложена к геометрическому центру пружины);
$a$ - длина пружины (в книжке - длина кручёного стержня).

Но так как пружина симметрична и точно такой же момент действует и на противоположный пруток, то всё умножается на 2. По-этому и 2 в знаменателе сокращается. Надеюсь, теперь стало понятней?

[AnatolyBa]

Ну, давайте остановимся на $\varphi=\frac{F\cdot a \cdot b}{G\cdot J_p}$. А почему без двойки обсудим потом, если будет желание.
Тогда пруток $a$ даст вклад в удлинение $a\cdot \varphi$, пруток $b$ - $b\cdot \varphi$. Полный виток $2(a+b)\varphi $, $n$ витков $2n (a+b)\varphi $

[spamfolder]

AnatolyBa в сообщении #1439367 писал(а):

Ну, давайте остановимся на $\varphi=\frac{F\cdot a \cdot b}{G\cdot J_p}$. А почему без двойки обсудим потом, если будет желание.
Тогда пруток $a$ даст вклад в удлинение $a\cdot \varphi$, пруток $b$ - $b\cdot \varphi$. Полный виток $2(a+b)\varphi $, $n$ витков $2n (a+b)\varphi $

Согласен, обсудим, но чуть позже. Давайте сперва с углами разберёмся.



Я просто не понимаю какое отношение имеет угол поворота прута пружины к общей деформации самой пружины? Судя по этому изображению, мы занимаемся расчётом угла $\varphi$ ($d \varphi$ на изображении). Но какая связь с деформацией? Единственное, что приходит на ум, соотношение угла поворота прямо пропорционально деформации пружины $\frac{\varphi}{2\cdot\pi} \equiv \frac{\Delta h}{h}$ ?

[feedinglight]

spamfolder в сообщении #1439363 писал(а):

Надеюсь, теперь стало понятней?

Да, спасибо большое!

Крутящий момент, действующий на маленький стержень $M = F\cdot a$. По формуле из книжки, взаимный угол поворота $\varphi=\frac{F\cdot a \cdot b}{G\cdot J_p}$. На сколько я понимаю, это значит, что стержни, создающие этот крутящий момент, поворачиваются на углы $\varphi/2 относительно исходного положения.
В качестве "проверки": если бы один конец этого маленького стержня был зафиксирован, то момент и угол остались бы те же, угол в этом случае соответствовал бы повороту стрежня, создающего крутящий момент. Это, кстати, случай крайних стержней, если закреплены их концы. Можно добавить просто по одному дополнительному стержню на краях пружины, закреплённые в горизонтальном положении.

По углам, как уже написали чуть выше, можно вычислить перемещения, как раз получится зависимость перемещения и силы. Перемещения можно вырадить через деформацию.
Странно только что у нас у троих получились 3 разных ответа по одной и той же формуле

[AnatolyBa]

Ну, я ответа не давал, боюсь ответственности.
Но да, у меня ошибка, для вычисления смещений нужно брать $\varphi/2$ а не $\varphi$. Т. е. в двух моих последних формулах двойки надо убрать

[spamfolder]

Товарищи, у меня отличные новости!
Решил посмотреть видео уроки от индусов по моделированию в Solidworks Simulation. Смоделировал пружину и сравнил с решением, к которому мы сегодня пришли благодаря общим усилиям. Либо очень удачно сошлись звёзды, либо мы точно что-то понимаем, взгляните сами.


Нелинейный статический анализ МКЭ выдаёт перемещение равное 60 мм, в то же время расчёт через угол поворота - 57 мм, разница чуть более 5% На днях попробую сравнить разные варианты пружин и подтвердить нашу гипотезу. А также, приступить к выведению аналитической формулы решения данной задачи. После ознакомления с предложенными источниками, у меня возникла пара идей насчёт того, какая величина в случае прямоугольника может скрываться за радиусом $r$.

spamfolder в сообщении #1438563 писал(а):

Теперь многое становится на свои места, но что быть с радиусом $r$? Ведь у прямоугольника не может быть радиуса. Я предполагаю, что можно подставить радиус мнимого круга, равного по площади прямоугольной пружине, но является ли моё предположение верным?

[feedinglight]

Крутяк!
Только не понятно, как посчитано деформация $56.99$, у меня получилось почему-то $44.73$.
А как там геометрическая нелинейность считается, за 1 шаг или за несколько? Можно посмотреть как зависит "деформация" от силы, там по идее почти прямая должна получиться. Раз изначально пружина расправлена, оценка жёсткости пружины по идее должна быть заниженной, в расправленной пружине работают ещё другие слагаемые, помимо кручения(а получается наоборот, оценка жёсткости получается завышеной).

spamfolder в сообщении #1439500 писал(а):

Теперь многое становится на свои места, но что быть с радиусом $r$? Ведь у прямоугольника не может быть радиуса. Я предполагаю, что можно подставить радиус мнимого круга, равного по площади прямоугольной пружине, но является ли моё предположение верным?

лол, вот же вы дали ссылку:

spamfolder в сообщении #1439025 писал(а):

3) Ссылка на работу немцев.

Там на рисунке показано, что такое $r$, это у них функция от угла, и пояснения какие-то написаны. Естественно, они, как разработчики коммерческой программы, дают максимально неточную формулу для расчёта.

(рисунок по ссылке)

p.s. Кстати, в модельке вы очень грамотно сделали концы пружины, так, что даже не ощущается, что на концах есть какие-то проблемы, всё вполне гладенько выглядит.

[spamfolder]

feedinglight в сообщении #1439683 писал(а):

Крутяк!
Только не понятно, как посчитано деформация $56.99$, у меня получилось почему-то $44.73$.
А как там геометрическая нелинейность считается, за 1 шаг или за несколько? Можно посмотреть как зависит "деформация" от силы, там по идее почти прямая должна получиться. Раз изначально пружина расправлена, оценка жёсткости пружины по идее должна быть заниженной, в расправленной пружине работают ещё другие слагаемые, помимо кручения(а получается наоборот, оценка жёсткости получается завышеной).

Спасибо, сейчас разберёмся. Вот ссылка на Excel таблицу, можете открыть и сверить формулы. Нелинейность, само собой, должна считаться за несколько шагов, иначе какая это нелинейность? Другое дело, что смысла от неё нет пока материал работает до предела текучести и деформация пропорциональна приложенной силе согласно закону Гука. Составил график зависимости перемещения от силы и сравнил результаты расчётов МКЭ с нашими расчётами через угол поворота. В случае с размерами 25х50, видимо, просто сошлись звёзды, т.к. в других случаях разброс значительно больше, 25-30%

feedinglight в сообщении #1439683 писал(а):

Там на рисунке показано, что такое $r$, это у них функция от угла, и пояснения какие-то написаны. Естественно, они, как разработчики коммерческой программы, дают максимально неточную формулу для расчёта.

Поэтому я решил вывести аналитическую формулу жёсткости. Я предполагаю, что пружину произвольной формы можно представить в виде эквивалентной круглой пружины в силу того, что в данном конкретном случае нас интересует только вертикальная жёсткость. Работа пружины в поперечном направлении сейчас не актуальна.

На второй вкладке Excel таблицы я сделал расчёты основных геометрических параметров прямоугольника:

$A = a \cdot b$ - площадь;
$W_p = \frac{a^2 \cdot b}{6}+\frac{a \cdot b^2}{6}$ - полярный момент сопротивления;
$I_p = \frac{a^3 \cdot b}{12}+\frac{a \cdot b^3}{12}$ - полярный момент инерции.

Принимая во внимание описанное выше допущение, а так же формулы расчёта геометрических параметров, вычисляем радиус эквивалентного круга:

$r(A) = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$;
$r(W_p) = (\frac{2 \cdot W_p}{\pi})^\frac{1}{3}$;
$r(I_p) = (\frac{2 \cdot I_p}{\pi})^\frac{1}{4}$.

Далее, используем уже знакомую нам формулу немецких машиностроительных инженеров, упомянутую в самом первом сообщении этой темы: $k=\frac{G\times J}{r^2\times C\times n}$, где $r$ - только что вычисленный радиус эквивалентной круглой пружины. Вот что получается.



Вырисовывается следующая картина. При $a \approx b$ наиболее точные результаты даёт аналитический расчёт через круг, эквивалентный по площади $r(A)$ и по моменту инерции $r(I_p)$. С увеличением соотношения сторон до $\frac{a}{b}\approx 2$, наиболее близким к МКЭ становится радиус из площади $r(A)$ и численный метод расчёта угла кручения. При $\frac{a}{b}\approx 5$, точнее всего жесткость пружины предсказывает $r(I_p)$.

feedinglight в сообщении #1439683 писал(а):

p.s. Кстати, в модельке вы очень грамотно сделали концы пружины, так, что даже не ощущается, что на концах есть какие-то проблемы, всё вполне гладенько выглядит.

Спасибо ещё раз! Значит индусы дело говорят в своих обучающих лекциях на Ютубе
Жду ваших комментариев.

[feedinglight]

spamfolder в сообщении #1439766 писал(а):

можете открыть и сверить формулы

Извините, это слишком сложно. Вот мой ответ (надеюсь, что не забанят):
$\Delta h=2n(a+b)\frac{\varphi}{2}=n (a+b) \frac{a \cdot b}{G\cdot J_p}\cdot F$
У вас такая же? Это не точная формула, она не должна совпадать с МКЭ. Если сравнить с $k=\frac{G\times J}{r^2\times C\times n}$, то получится, что в случае прямоугольной пружины $C \cdot n=2n(a+b)$ ($C$ - это ведь периметр?) и значит $r^2=a\cdot b/2$. Если исходная формула для $\Delta h$ выведена без ошибок(могла потеряться какая-нибудь двойка), то "уточнять" её можно либо уменьшая количество исходных допущений(выводить заново с учётом изгиба), либо всякими шаманствами-подгонами.

spamfolder в сообщении #1439766 писал(а):

Нелинейность, само собой, должна считаться за несколько шагов, иначе какая это нелинейность? Другое дело, что смысла от неё нет пока материал работает до предела текучести и деформация пропорциональна приложенной силе согласно закону Гука.

Геометрическая

(Оффтоп)

Её можно тоже учитывать за несколько шагов, либо с помощью более продвинутых тензоров деформаций и напряжений (за 1 или несколько шагов). Можно стержень порастягивать для примера за 1 или за 100 шагов. Физическую нелинейность в случае простого нагружения иногда можно учитывать за 1 шаг. Например, нагружение упруго-пластического полого шара внутренним давлением: деформации малые, геометрической нелинейности нет, а физическую нелинейность легко учесть за 1 шаг (каким-нибудь алгоритмом возврата на поверхность текучести).

Коэффициент Пуассона влияет на решение МКЭ? (в исходных параметрах вижу только модуль сдвига, упругий материал задаётся 2-мя параметрами).

feedinglight в сообщении #1439683 писал(а):

Раз изначально пружина расправлена, оценка жёсткости пружины по идее должна быть заниженной

Извиняюсь, тут затупил(и расправленность не при чём). Аналитическая оценка не учитывает изгиб(и сдвиг), считая стержни не сгибаемыми, поэтому должна давать заниженную деформацию и, соответственно, завышенную жёсткость, так что вроде всё адекватно получается.

[GraNiNi]

spamfolder в сообщении #1439232 писал(а):

Но есть одно но! Пружин прямоугольных форм у меня нет, поблизости никто не продаёт, а доставка с AliExpress сейчас буксует из-за коронавируса. Да и мой вопрос стоит по-другому. Мне не надо вычислить жёсткость конкретно взятой пружины, мне надобно вывести формулу жесткости чтобы подобрать подходящие требованиям размеры пружины

Вы можете очень точно рассчитать геометрию пружины, но во всех расчетах используется принятая табличная величина модуля сдвига для стали.
В реальности, все стали индивидуальны, так как даже небольшие изменения в их химическом составе влияют на их механические характеристики, в том числе и на модуль сдвига.
Какую сталь (по составу) будет использовать изготовитель пружин - не известно (он этого может и не знать), но он должен знать точно (или даже определять самостоятельно) модуль сдвига используемой стали.
Однако, может вам и не нужна такая высокая точность, и отклонения в пределах 10-30% вас устроят, тогда и заморачиваться с точностью расчетов тоже не стоит.