1. Матричная алгебра Ли -- это подалгебра Ли алгебры Ли
вещественных (или комплексных)
матриц с операцией коммутатор.
2. Пусть
-- матричная алгебра Ли. Можно взять экспоненты от всех её элементов и породить ими подгруппу
. Это очевидно. Она будет связна (почти очевидно).
3. Но эта подгруппа не обязательно вложенное подмногообразие! Это группа (даже топологическая группа), но пока ещё не группа Ли, потому что непонятно, откуда взять гладкую структуру.
Матричными группами Ли обычно называют именно
вложенные подмногообразия
.
4. Тем не менее, на
можно единственным образом ввести структуру гладкого многообразия так, что
станет группою Ли, а вложение
-- гладким отображением. Это НЕочевидно. Более того, это вложение автоматически будет погружением (immersion). Таким образом,
естественым образом есть погружённая (immersed) подгруппа Ли группы Ли
, но не обязательно вложенная (embedded).
5. Вообще пусть
группа Ли,
её алгебра Ли. Тогда имеется естественное взаимно-однозначное соответствие между подалгебрами Ли
и связными
погружёнными подгруппами Ли
.
6. Если нам ЗАРАНЕЕ известно, что
соответствует вложенной подгруппе:
Впрочем, пожалуй вопрос надо сформулировать точнее. Была связная (но не обязательно односвязная) матричная группа Ли. К ней построено касательное пространство в единице, которое, естественно, является алгеброй Ли. Потом исходная группа "потерялась" (но алгебра, точнее конкретное представление алгебры, сохранилась), надо ее восстановить.
-- то мы сделаем как написано в п. 2, получится вложенное подмногообразие и таким образом на
автоматически возникнет структура группы Ли. Вот мы и получили (восстановили) группу Ли, как нам и хотелось. Если же мы заранее не знаем, что получится вложенная подгруппа, то может возникнуть описанная сложность.
Пример. Рассмотрим 1-мерную матричную алгебру Ли, состоящую из матриц вида , пробегает вещественные числа. Экспоненты её элементов образуют подгруппу группы невырожденных комплексных матриц , но она не вложенное подмногообразие: любая достаточно малая окрестность единичной матрицы в состоит из бесконечного количества связных компонент. Если же ввести на ней вышеупомянутую гладкую структуру, то получится группа Ли, изоморфная группе Ли вещественных чисел с операцией сложения.