Еще про группы и алгебры Ли.

[Alex-Yu]

Как известно, алгебра Ли определяет группу Ли не однозначно. Классический пример это $SU(2)$ и $SO(3)$. Однако это если рассматривать алгебры Ли абстрактно, с точностью до изоморфизма. Если же речь не об абстрактной алгебре, а о конкретной матричной алгебре, то кажется естественным думать, что здесь неоднозначности уже не будет: матричная экспонента вполне однозначна, так что конкретное матричное представление алгебры Ли через экспоненту однозначно определяет связную группу Ли (то, что в группе могут быть еще другие компоненты связности, и алгебра Ли тут просто ни при чем, это понятно, интересуют лишь связные группы).

В связи с этим два вопроса:

1. Так ли это?
2. Ссылку бы, где это явно написано.

Впрочем, вполне возможно, что это столь очевидно, что никаких обсуждений и ссылок не требует. Лично мне так кажется именно так. Но я не раз нарывался на то, что мне что-то очевидно, а математикам -- нет. И оказываются правы они, а вовсе не я Так что лучше бы получить квалифицированный комментарий. И даже несколько.

[lek]

1. Это так для связной односвязной группы Ли.
2. Кириллов А.А. Элементы теории представлений, пар. 6.

[Alex-Yu]

lek в сообщении #1439384 писал(а):

Это так для связной односвязной группы Ли.

Для односвязной это так даже если алгебра с точностью до изоморфизма. Я же о другом совсем.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #1439380 писал(а):

Если же речь не об абстрактной алгебре, а о конкретной матричной алгебре, то кажется естественным думать, что здесь неоднозначности уже не будет: матричная экспонента вполне однозначна, так что конкретное матричное представление алгебры Ли через экспоненту однозначно определяет связную группу Ли

Это всё так для матричной группы Ли. А ведь группа Ли вовсе не обязана быть матричной.

То есть, в цепочке

алгебра Ли → матричная алгебра → группа Ли

однозначность теряется в обеих стрелках.

Идею можно понять из топологии. Алгебра Ли - это некая локальная структура, "затравка" вокруг единицы группы Ли, которая задаёт, как дальше группа Ли будет "расти". Если позволить ей "вырасти до предела", то получится некое многообразие - максимальная связная группа Ли. Но если у нас есть многообразие, то оно может позволить некоторую факторизацию себя по отношению эквивалентности, в частности - по дискретной подгруппе группы Ли. Это можно представить себе как то, что мы режем футбольный мяч на лоскутки, и складываем их в стопочку (это называется "накрытие"), и дальше у нас один лоскуток, "зацикленный" сам на себя, периодическими граничными условиями. И таких факторизаций может быть очень много разных. И все они соответствуют одной алгебре Ли.

На матричном языке, это означает, что матричная экспонента у вас однозначна, но дальше несколько разных матриц отображаются в один элемент группы Ли. Никто этого не запрещает. Более того, есть такие группы Ли, которые вообще матричными быть никак не могут. Например, $\mathrm{PSL}(n)$ и $\mathrm{PSO}(n).$ (Вот насчёт спиновых не в курсе.)

-- 11.02.2020 17:46:04 --

P. S. И вот эта максимальная связная группа Ли - автоматически оказывается односвязной. Почему - не знаю, это какая-то математическая магия. (Зато, она не обязательно получится как раз той, которую вы делаете матричной экспонентой. Например, если вы берёте $\mathfrak{so}(3),$ и от неё экспоненту - в действительных матрицах $3\times 3$ - то получите $\mathrm{SO}(3),$ которая не максимальна, $\mathrm{SO}(3)=\mathrm{SO}(3)/\mathbb{Z}_2.$)

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #1439403 писал(а):

Это всё так для матричной группы Ли. А ведь группа Ли вовсе не обязана быть матричной.

Меня интересуют только матричные. В том и проблема, что во всех книгах пишут в более общем виде (который, во всяком случае сейчас, мне абсолютно не нужен). А общий (не матричный) случай довольно сильно отличается.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #1439409 писал(а):

Меня интересуют только матричные.

Это совсем другое дело.
Тогда да, как я понимаю, работает ваш аргумент, что матричная экспонента однозначна.

Но вы получите не обязательно односвязную группу Ли, как уже замечено выше. Вообще, что вы получите, сильно зависит от того, как вы вложите алгебру Ли в матрицы (что не однозначный шаг).

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #1439403 писал(а):

Идею можно понять из топологии. Алгебра Ли - это некая локальная структура, "затравка" вокруг единицы группы Ли, которая задаёт, как дальше группа Ли будет "расти". Если позволить ей "вырасти до предела", то получится некое многообразие - максимальная связная группа Ли.

Замечательно. Теперь объясните мне непонятливому, как беря экспоненту от действительных косо-симметричных матриц $3 \times 3$ получить группу комплексных унитарных матриц $2 \times 2$ т.е. $SU(2)$, которая, как известно, является (универсальной) накрывающей для $SO(3)$ и при этом односвязна.

-- Вт фев 11, 2020 22:06:13 --

Munin в сообщении #1439414 писал(а):

как вы вложите алгебру Ли в матрицы (что не однозначный шаг).

У меня алгебра это уже набор конкретных матриц. Изоморфизмы же мне по-барабану.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #1439415 писал(а):

Теперь объясните мне непонятливому, как беря экспоненту от действительных косо-симметричных матриц $3 \times 3$ получить группу комплексных унитарных матриц $2 \times 2$ т.е. $SU(2)$, которая, как известно, является (универсальной) накрывающей для $SO(3)$ и при этом односвязна.

Никак :-)
Сначала надо взаимно-однозначно сопоставить действительные кососимметричные $3\times 3,$ и комплексные антиэрмитовы $2\times 2.$ А потом уже брать экспоненту от этих комплексных.

[Alex-Yu]

У меня алгебра это уже набор конкретных матриц. Изоморфизмы же мне по-барабану. Я же сказал, что у меня конкретная матричная алгебра Ли, чему она там может или не может быть изоморфной меня не интересует.

Впрочем, пожалуй вопрос надо сформулировать точнее. Была связная (но не обязательно односвязная) матричная группа Ли. К ней построено касательное пространство в единице, которое, естественно, является алгеброй Ли. Потом исходная группа "потерялась" (но алгебра, точнее конкретное представление алгебры, сохранилась), надо ее восстановить. Можно ли по касательному пространству в единице однозначно восстановить группу? И даже не группу, а конкретное матричное представление этой группы, именно то, к которому построено было касательное пространство.

[Padawan]

Да. Фактически у вас есть кусочек вашей группы около единичной матрицы. Берем всевозможные произведения матриц из этого кусочка. Это и будет ваша группа (т.к. она связна, то до любого элемента можно добраться). Односвязность в данном случае не при чем.

[Alex-Yu]

Padawan в сообщении #1439421 писал(а):

Односвязность в данном случае не при чем.

Да я и сам, вроде, понимаю. Но надо отбиваться от тех, кто начинает меня грузить универсальной накрывающей группой. Лучше всего бы ткнуть пальцем в книжку и все. Но в какую книжку???

-- Вт фев 11, 2020 23:09:52 --

[amon]

Alex-Yu в сообщении #1439424 писал(а):

Но в какую книжку???

"(49) Теорема о конечной порожденности. Связная топологическая группа порождается любой окрестностью своей
единицы."
Оно или нет? Если оно, то В.Д. Ляховскии, А.А. Болохов Группы симметрии и элементарные частицы. Стр. 94.

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1439436 писал(а):

Связная топологическая группа порождается любой окрестностью своей
единицы."

Да, об этом я думал. Такая теорема много где есть (правда, строгое доказательство я не понимаю, хотя интуитивно это ясно). Но тут фигурирует все же окрестность в самой группе, а не касательное пространство (алгебра Ли). Интуитивно ясно, что это по сути то же самое. Но здесь я имею дело с чистыми математиками (из другой области, не из групп Ли, поэтому знать все это не обязаны), а они любят формальные доказательства. Не думаю, что такие рассуждения их удовлетворят.

[Padawan]

Та же теорема в Понтрягин Непрерывные группы, теорема 14 в $\S 22$.

-- Вт фев 11, 2020 21:20:33 --

Alex-Yu в сообщении #1439442 писал(а):

Но тут фигурирует все же окрестность в самой группе

Так есть теорема, что экспонента (обычная матричная) устанавливает диффеоморфизм между некоторой окрестностью нуля в касательном пространстве и некоторой окрестностью единицы группы.

[Alex-Yu]

Padawan в сообщении #1439443 писал(а):

Понтрягин Непрерывные группы

Так это то же самое, что выше...

-- Ср фев 12, 2020 00:27:37 --

Padawan в сообщении #1439443 писал(а):

Так есть теорема, что экспонента (обычная матричная) устанавливает диффеоморфизм между некоторой окрестностью нуля в касательном пространстве и некоторой окрестностью единицы группы.

Да, это я знаю. Примерно так я и думаю, но не уверен в строгости таких рассуждений. Кстати, не помешала бы ссылка на эту теорему у того же Понтрягина (наверняка есть). Если не трудно, помните где, мне самому искать очень долго.