Найти определитель матрицы

[Platon555]

vpb в сообщении #1438180 писал(а):

Вот, определитель нашли, с чем и поздравляю. А смысл записи $V=\langle u\rangle\oplus \langle u\rangle^\bot$ понятен, или нет ? Если нет, можно почитать в учебнике (в Кострикине второй том, например, или в Мальцев, Основы линейной алгебры), что такое "пространство с билинейной формой" и "ортогональное дополнение".

Вот читаю сейчас Кострикина, только я не понял как в решении автор нашел собственные значения для $\langle u\rangle$, он представил, я так понимаю, $(uu^T)x = (u,x)u;(u,x)u=\lambda x$, исходя из этого просто подобрал собственный вектор?
И почему он решил оттолкнуться от $\langle u\rangle\oplus \langle u\rangle^\bot$
Это выглядет очевидным?

[TOTAL]

Platon555 в сообщении #1438185 писал(а):

я не понял как в решении автор нашел собственные значения

Автор скобки расставил разными способами:

$uu^Tu = (uu^T)u$
$uu^Tu = u(u^Tu)$

Равенство правых частей означает, что для такой-то матрицы такой-то вектор
является собственным с таким-то собственным значением.

[svv]

Platon555 в сообщении #1438185 писал(а):

почему он решил оттолкнуться от $\langle u\rangle\oplus \langle u\rangle^\bot$
Это выглядет очевидным?

Да. Что делает с произвольным вектором $x$ его умножение на матрицу $uu^T$ слева?
0) Любой $x$ однозначно представляется суммой двух составляющих: $x_\parallel$ (параллельной $u$) и $x_\perp$ (ортогональной $u$).
Что делает умножение на матрицу $uu^T$ слева с каждой составляющей?
1) $x_\parallel$ умножается на число $u^Tu$.
2) $x_\perp$ умножается на число $0$ (уничтожается).

Сформулируем те же пункты в других терминах:
0) Векторное пространство раскладывается в прямую сумму $\langle u\rangle$ и $\langle u\rangle^\perp$.
1) Ненулевые векторы $x_\parallel\in \langle u\rangle$ являются собственными для $\lambda=u^Tu$.
2) Ненулевые векторы $x_\perp\in \langle u\rangle^\perp$ являются собственными для $\lambda=0$.

P.S. Если $u^T u=1$, то оператор, действующий по правилу $x\mapsto uu^Tx$, можно назвать ортогональным проектором. Он проецирует любой вектор $x$ на подпространство $\langle u\rangle$.
Иначе это композиция ортогонального проецирования с растяжением/сжатием.

[Platon555]

svv в сообщении #1438216 писал(а):

Platon555 в сообщении #1438185 писал(а):

почему он решил оттолкнуться от $\langle u\rangle\oplus \langle u\rangle^\bot$
Это выглядет очевидным?

Да. Что делает с произвольным вектором $x$ его умножение на матрицу $uu^T$ слева?
0) Любой $x$ однозначно представляется суммой двух составляющих: $x_\parallel$ (параллельной $u$) и $x_\perp$ (ортогональной $u$).
Что делает умножение на матрицу $uu^T$ слева с каждой составляющей?
1) $x_\parallel$ умножается на число $u^Tu$.
2) $x_\perp$ умножается на число $0$ (уничтожается).

Сформулируем те же пункты в других терминах:
0) Векторное пространство раскладывается в прямую сумму $\langle u\rangle$ и $\langle u\rangle^\perp$.
1) Ненулевые векторы $x_\parallel\in \langle u\rangle$ являются собственными для $\lambda=u^Tu$.
2) Ненулевые векторы $x_\perp\in \langle u\rangle^\perp$ являются собственными для $\lambda=0$.

P.S. Если $u^T u=1$, то оператор, действующий по правилу $x\mapsto uu^Tx$, можно назвать ортогональным проектором. Он проецирует любой вектор $x$ на подпространство $\langle u\rangle$.
Иначе это композиция ортогонального проецирования с растяжением/сжатием.

В итоге, ход мысли такой был:
1) надо найти собственные значения матрицы $uu^T$
2) обратим внимание на $(uu^T)x = u(u^Tx)$
3) $u(u^Tx)= \lambda x$ - это выражение подсказывает нам рассмотреть ортогональное дополнение к $\langle u\rangle$ (так для него $(u^Tx) = 0 $), а затем само это подпространство, в итоге мы рассмотрели $V = <u>\oplus<u>^{\perp}$
4) находим собственные значения и их кратность(размерность $\langle u\rangle$ равна 1, ортогонального дополнения n-1)

[vpb]

Platon555 в сообщении #1438318 писал(а):

В итоге, ход мысли такой был:

Да, всё правильно. В общем, мне кажется, тема исчерпана. Если еще что-то непонятно, подумайте самостоятельно, и прояснится через некоторое время.

[svv]

vpb
Матрицу $uu^T$ мы хорошо разобрали, но теперь надо вернуться к $uu^T+kE$. Возникает вопрос:
Как связаны собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы $A$ с собственными значениями и векторами матрицы $A+kE$ ?
Может быть, автор темы самостоятельно ответит?

Кроме того, мы нашли геометрическую кратность собственных значений, а для детерминанта важна алгебраическая. Пояснить, почему они тут совпадают.

[Platon555]

svv в сообщении #1438439 писал(а):

vpb
Матрицу $uu^T$ мы хорошо разобрали, но теперь надо вернуться к $uu^T+kE$. Возникает вопрос:
Как связаны собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы $A$ с собственными значениями и векторами матрицы $A+kE$ ?
Может быть, автор темы самостоятельно ответит?

Кроме того, мы нашли геометрическую кратность собственных значений, а для детерминанта важна алгебраическая. Пояснить, почему они тут совпадают.

По поводу связи собственных значений и детерминанта - использовалась формула:
$\det(M) = \det(kE + uu^T) = \prod\limits_{i}^{}(\lambda_{i}+k)$
Автор ее использовал без доказательства, меня больше интересовал вопрос с его рассуждениями по поводу собственных подпространств, понимание которых появилось.

Что касается алгебраической кратности - она не может быть меньше геометрической

[svv]

Platon555 в сообщении #1438531 писал(а):

Автор ее использовал без доказательства, меня больше интересовал вопрос с его рассуждениями по поводу собственных подпространств

О, это очень просто. Пусть $Ax=\lambda x$, тогда, очевидно, $(A+kE)x=(\lambda+k)x$.
Т.е. если матрица $A$ имеет собственное значение $\lambda$ и соответствующий ему собственный вектор $x$,
то матрица $A+kE$ имеет собственное значение $\lambda+k$ с тем же собственным вектором $x$.

Platon555 в сообщении #1438531 писал(а):

Что касается алгебраической кратности - она не может быть меньше геометрической

Верно. То есть алгебраическая больше или равна геометрической. Но сумма геометрических кратностей обоих собственных значений уже равна $n$, а сумма алгебраических не может превосходить $n$. То есть — совпадают.