Что такое групповой модуль, на простейших примерах?

[Munin]

(Преамбула)

Моё желание сейчас состоит в том, чтобы понять смысл групповых гомологий и когомологий, но не в абстрактных формулировках, а на максимально простых примерах. В наилучшем случае - для маленьких конечных групп.

Учебника у меня нет. (Если порекомендуете простой, доходчивый и по-русски, буду рад.) Читаю

https://en.wikipedia.org/wiki/Group_cohomology
https://en.wikipedia.org/wiki/Eilenberg-MacLane_space

Варианта два: или понять геометрический смысл для вот этих пространств Эйленберга-МакЛейна (но примеры там страшноватенькие), или разобраться с алгебраическим. Что такое точная последовательность - я понимаю, но категорные формулировки, функторы - нет. И хочу обойтись без них.

Читаю определение оператора кограницы из

https://en.wikipedia.org/wiki/Group_cohomology#Cochain_complexes

$G$ - некая группа, $g_{\ldots}\in G$ - элементы этой группы;
$M$ - некий $G$-модуль;
$C^n(G,M)$ - группа всех функций $G^n\to M$, а одна из функций обозначена $\varphi\in C^n(G,M)$;
$d$ - интересующий меня оператор кограницы, аналогичный оператору дифференциала дифф. формы в геометрических когомологиях, скажем, Де Рама.

Ну хорошо, выписал для себя пару примеров:

$C^0\to C^1\colon\quad d^1\varphi(g)=g\varphi+(-1)^1\varphi=g\varphi-\varphi$
$C^1\to C^2\colon\quad d^2\varphi(g_1,g_2)=g_1\varphi(g_2)+(-1)^1\varphi(g_1 g_2)+(-1)^2\varphi(g_1)=$

$=g_1\varphi(g_2)-\varphi(g_1 g_2)+\varphi(g_1)$

Выглядит обескураживающе: почему такие формулы, что они значат?

Хочу подставить в качестве примера $G$ какие-нибудь простые примеры, прежде всего $S_3=\mathrm{Dih}_3$ как простейшую неабелеву. Кроме того, готов поупражняться с $\mathbb{Z}_2,V_4=\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2,\mathbb{Z}.$

Сталкиваюсь с такой проблемой. Надо взять $G$-модуль (над группой), чтобы в нём выбирать значения функций $\varphi(g).$ Но в обычных местах везде написано про $R$-модули (над кольцами). В википедии

https://en.wikipedia.org/wiki/G-module

дано лаконичное определение, и что печально, всего три-четыре примера, либо тривиальных, либо не подходящих.

Какие вы посоветуете взять примеры $G$-модулей, чтобы можно было их применить к $\mathrm{Dih}_3$? Желательно нетривиальные, разных размерностей (рангов?), но простенькие, чтобы можно было на бумажке что-то посчитать. Если можно $R$-модули превращать в $G$-модули для интересующей группы, то как?

[vpb]

Простого, доходчивого и по русски учебника по этим вопросам нет. Могу рекомендовать следующее:
Rotman, An introduction to the theory of groups, глава 7
Кузьмин, Гомологическая теория групп
Холл, Теория групп, глава 15
Suzuki, Group theory I, глава 2, параграф 7
Adem, Milgram, Cohomology of finite groups, глава 1.
Книги Маклейн, Гомология, и Браун, Когомологии групп --- более сложные.

-- 11.06.2019, 00:00 --

То, что модуль над группой и над ее групповым кольцом --- одно и то же, это тривиально.
Кертис, Райнер, Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, начало.

[Munin]

vpb в сообщении #1398707 писал(а):

То, что модуль над группой и над ее групповым кольцом --- одно и то же, это тривиально.

Спасибо! В википедии сказано слабее: что они образуют одинаковые категории. Я подумал, что мало ли что это может значить.

Постараюсь разобраться. Но "хрен редьки не слаще". С групповыми кольцами у меня тоже опыта нет.

Выливаем воду из чайника, сводим задачу к предыдущей...

Имеется в виду групповое кольцо $\mathbb{Z}[G]$?

Правильно я понимаю, что это кольцо "многочленов" над символами $g\in G,$ перемножающимися по групповому закону?

Тогда $\mathbb{Z}[\mathrm{Dih}_3]$ - шестимерное пространство над $\mathbb{Z}.$ И над ним ещё надо построить модуль! Ужас! Кроме $R^n$ мне пока никакие в голову не приходят. Какие ещё посоветуете?

[vpb]

Munin в сообщении #1398710 писал(а):

Какие ещё посоветуете?

Единственное, что могу посоветовать --- первые две главы из Кэртиса-Райнера, не подряд.

[george66]

Модуль - это как бы линейное пространство, но числа там не образуют поля. Групповой модуль - это множество "векторов", которые можно складывать, вычитать (между собой) и умножать на элементы группы (как на числа). Почитайте Шафаревича "Основные понятия алгебры".

[Munin]

vpb
george66
Спасибо огромное за литературу! (Шафаревич у меня же был, но из головы вылетел...)

Видимо, "следующий заход" будет после скачивания и чтения.

[Munin]

В общем, я решил почитать Кузьмина. По первому впечатлению - замечательный учебник. Но надо читать не со 2-й главы, а с 1-й.

Первый же вопрос.

vpb в сообщении #1398707 писал(а):

То, что модуль над группой и над ее групповым кольцом --- одно и то же, это тривиально.

Я нашёл это на первой же странице § 1.1. Однако Вавилов меня уже приучил приглядываться к правому и левому.

Правильно ли я понимаю, что

правый $G$-модуль является правым $\mathbb{Z}G$-модулем над групповым кольцом $\mathbb{Z}G,$

поскольку действие на нём группы продолжается до действия на нём группового кольца по линейности; видимо, подразумевается дистрибутивность вида

$$a(g_1+g_2)=ag_1+ag_2,\qquad a\in\textit{модуль},\,\,g_1,g_2\in\textit{группа},$$

Но симметричное ему утверждение состоит в том, что

левый $G$-модуль является левым $G\mathbb{Z}$-модулем над уже другим групповым кольцом $G\mathbb{Z},$ в котором коэффициенты умножаются на элементы группы справа?

[george66]

Там нет никаких коэффициэнтов, по сути. Есть суммы и разности элементов группы, вроде $g+g-f$, что для краткости можно записать как $2g-f$, а также и $g2-f$, если хочется. Могу, конечно, что-то спутать, я от алгебры далёк.

[Munin]

Да, там где-то мелькало, что коэффициенты в групповом кольце - коммутативное кольцо. Зато чуть дальше сказано, что правые и левые модули превращаются друг в друга отображением $g\to g^{-1},$ которое продолжается на кольцо и является в нём инволюцией.

-- 12.06.2019 05:15:19 --

Ещё мне пришло в голову, что для правого модуля логичней как раз писать и коэффициенты группового кольца справа, чтобы работала ассоциативность в естественном виде, типа

$$a(g\lambda)=(ag)\lambda,\qquad a\in\textit{модуль},\,\,g\in\textit{группа},\,\,\lambda\in\textit{кольцо коэффициентов}.$$

Но непонятно, почему бы не делать всего того же самого с левыми модулями и коэффициентами слева.

[george66]

У нас кольцо с единицей (кольцо целых чисел). Если мы требуем, чтобы
$1g=g$
то
$2g=(1+1)g=g+g$
$3g=(1+1+1)g=g+g+g$
и так далее.

[Munin]

А! Понятно. Запись $g+g+g$ - это запись в терминах кольца (сложение и умножение в его сигнатуру входит). Никаких элементов не из кольца тут нет.

А вот запись $3g$ - это уже интерпретация кольца как модуля над кольцом коэффициентов $\mathbb{Z}.$ И вот тут уже можно обсуждать, левого модуля или правого модуля, и тогда уже писать, соответственно, $3g$ или $g 3.$ (Кстати, кольцо коэффициентов не обязательно должно быть $\mathbb{Z},$ что легко видно для колец остатков $\mathbb{Z}_n$ в качестве модулей.)

Но групповое кольцо, строго говоря, вообще имеет элементами функции, как я понял. То есть, там нет ни элемента $g+g+g,$ ни элемента $3g,$ а есть, строго говоря, только элемент $\bigl\{\begin{smallmatrix}g\mapsto 3 \\ h\mapsto 0, & h\ne g\end{smallmatrix},$ который для некоторого удобства можно обозначить $3\delta_g.$ А по сравнению с этим, запись и $3g,$ и $g+g+g$ является slight abuse of notation.

И поэтому, наверное, договариваясь понимать $3g$ как нашу $3\delta_g,$ мы можем уже произвольно выбрать, с какой стороны записывать коэффициенты.

[Slav-27]

Munin в сообщении #1398696 писал(а):

Варианта два: или понять геометрический смысл для вот этих пространств Эйленберга-МакЛейна (но примеры там страшноватенькие), или разобраться с алгебраическим. Что такое точная последовательность - я понимаю, но категорные формулировки, функторы - нет. И хочу обойтись без них.

Тогда лучше "геометрический".

1. Пусть $G$ группа. Следующее есть (на смысловом уровне) одно и то же:

• левый модуль $M$ над кольцом $\mathbb ZG$,
• левый модуль $M$ над группою $G$,
• абелева группа $M$ вместе с гомоморфизмом групп $G\to\operatorname{Aut}M$, где $\operatorname{Aut}M$ -- группа всех автоморфизмов $M$,
• абелева группа $M$, и каждому элементу $g\in G$ сопоставлен автоморфизм $M$, причём произведению элементов сопоставляется композиция соответствующих автоморфизмов.

Munin в сообщении #1398696 писал(а):

Какие вы посоветуете взять примеры $G$-модулей, чтобы можно было их применить к $\mathrm{Dih}_3$?

Линейные представления (это соответствует частному случаю $M=\mathbb C^n$ или $\mathbb R^n$).

2. С точки зрения тополога, когомологии группы $G$ (снабжённой дискретною топологиею) -- это когомологии её классифицирующего пространства $BG$. Например, $H^*(G,\mathbb Z)=H^*(BG,\mathbb Z)$. (Здесь в левой части равенства мы рассматриваем $\mathbb Z$ как тривиальный $G$-модуль, то есть все элементы $G$ действуют на $\mathbb Z$ тождественным автоморфизмом.)

3. Что такое $BG$? Это топологическое пространство, такое что

• оно линейно связно, его фундаментальная группа изоморфна $G$,
• у него есть накрытие, пространство которого стягиваемо.

Для любой группы $BG$ существует и единственно с точностью до гомотопической эквивалентности.

4. Как построить $BG$? Достаточно придумать стягиваемое пространство $EG$, на котором $G$ действует свободно, причём проекция $EG\to EG/G$ накрытие. Тогда $EG/G$ есть $BG$.

5. Как построить $EG$? Иногда можно его угадать. Например, возьмём $G=\mathbb Z$. $\mathbb Z$ свободно действует на $\mathbb R$ ($n$ переводит $x\mapsto x+n$), факторизация по этому действию -- универсальное накрытие окружности $S^1$. Поэтому $B\mathbb Z=S^1$, $H^k(\mathbb Z,\mathbb Z)=H^k(S^1,\mathbb Z)=\begin{cases}\mathbb Z \text{ при }k=0,1,\\ 0\text{ иначе.}\end{cases}$

6. Существует явная конструкция $EG$ для любой $G$, она называется бар-конструкция. Она реализует $EG$ в виде (бесконечномерного) $CW$-комплекса. Ваши формулы из 1-го поста происходят именно оттуда.

Она проводится следующим образом. Сопоставим каждому упорядоченному набору $g_0,...,g_n$ элементов $G$ (некоторые из элементов набора могут быть одинаковые) $n$-мерный симплекс с вершинами, пронумерованными числами $0,...,n$. Этот симплекс будем обозначать $[g_0,...,g_n]$. Теперь склеим эти симплексы друг с другом: $(n-1)$-мерную грань симплекса $[g_0,...,g_n]$, натянутую на вершины с номерами $0,...,{i-1},{i+1},...,n$, отождествим с симплексом $[g_0,...,g_{i-1},g_{i+1},...,g_n]$ таким образом, что вершины с номерами $0,...,{i-1},{i+1},...,n$ приклеиваются соответственно к вершинам с номерами $0,1,...,n-1$ (дальше отображение приклеивания продолжается по линейности).

Это бесконечномерный $CW$-комплекс: каждому набору $g_0,...,g_n$ там соответствует ровно одна $n$-мерная клетка. $G$ действует на нём перестановкою клеток: она переводит клетку $[g_0,...,g_n]$ в $[gg_0,...,gg_n]$. Очевидно, это действие свободно; чуть менее очевидно, что полученный $CW$-комплекс стягиваем и описанное действие $G$ задаёт накрытие. Поэтому этот комплекс есть $EG$, а $BG=EG/G$.

Подробности: Хатчер. Алгебраическая топология. § 1.B.

В орбите каждой клетки $EG$ есть ровно одна клетка, такая что первый элемент соответствующего набора есть единица групы $G$ (у клетки $[f_0,...,f_n]$ это клетка $[1,f_0^{-1}f_1,...,f_0^{-1}f_n]$.) Таким образом, $n$-мерные клетки $BG$ взаимно однозначно соответствуют упорядоченным наборам из $n$ элементов $G$.

7. Оказывается удобным ввести 2 вида обозначений для клеток $BG$. Во-первых, условимся образ клетки $[f_0,f_1,...,f_n]$\subset EG в $BG$ обозначать так же $[f_0,f_1,...,f_n]$ (такие обозначения неоднозначны). Кроме того, клетку $[1,f_1,f_2...,f_n]\subset BG$ будем обозначать также $[g_1|g_2|...|g_n]$, где $f_1=g_1$, $f_2=g_1g_2$, ..., $f_n=g_1g_2...g_n$. Такие обозначения однозначны.

8. Наконец, займёмся вычислением $H^*(BG,\mathbb Z)$ (будем использовать клеточные когомологии).

Как обычно, группа цепей $C_n(BG,\mathbb Z)$ порождена $n$-мерными клетками. Как устроено граничное отображение $\partial:C_n\to C_{n-1}$? В обозначениях без черт $\partial[1,f_1,...,f_n]=[f_1,...,f_n]-[1,f_2,...,f_n]+...\pm[1,f_1,...,f_{n-1}]$; например, $\partial [1,f_1,f_2]$ $=[f_1,f_2]-[1,f_2]+[1,f_1]$ $=[1,f_1^{-1}f_2]-[1,f_2]+[1,f_1]$. Это обычная граница симплекса (в рассмотренном примере -- треугольника). В обозначениях с чертами то же запишется $\partial[g_1|g_2]=[g_2]-[g_1g_2]+[g_1]$.

Мы хотим не гомологии, а когомологии, поэтому надо рассматривать двойственный комплекс $C^n=\mathrm{Hom}(C_n,\mathbb Z)$ с дифференциалом, который определяется соотношением $d\varphi(c)=\varphi(\partial c)$ (бывают другие соглашения о знаке, но на когомологии это не влияет).

Образующие $C_n$ $\leftrightarrow$ $n$-мерные клетки $\leftrightarrow$ упорядоченные $n$-ки элементов $G$, поэтому элементы $C^n$ $\leftrightarrow$ функции $G^n\to\mathbb Z$.

Пусть $\varphi$ $1$-мерная коцепь, посчитаем её дифференциал: $d\varphi([g_1|g_2])$ $=\varphi(\partial[g_1|g_2])$ $=\varphi([g_2]-[g_1g_2]+[g_1])$ $=\varphi([g_2])-\varphi([g_1g_2])+\varphi([g_1])$. Напоминаю, что мы рассматриваем тривиальное действие группы $G$, для этого случая это в точности 2-я формула отсюда:

Munin в сообщении #1398696 писал(а):

Ну хорошо, выписал для себя пару примеров:
$C^0\to C^1\colon\quad d^1\varphi(g)=g\varphi+(-1)^1\varphi=g\varphi-\varphi$
$C^1\to C^2\colon\quad d^2\varphi(g_1,g_2)=g_1\varphi(g_2)+(-1)^1\varphi(g_1 g_2)+(-1)^2\varphi(g_1)=$
$=g_1\varphi(g_2)-\varphi(g_1 g_2)+\varphi(g_1)$ Выглядит обескураживающе: почему такие формулы, что они значат?

[Munin]

Спасибо!
К сожалению, мне надо ещё познакомиться с представлениями. Видимо, до этого момента отложу пока свои попытки разобраться.

(Оффтоп)

Slav-27
Вы вызываете во мне сильный комплекс неполноценности. Предыдущий раз такое было с kry.