2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Что такое групповой модуль, на простейших примерах?
Сообщение10.06.2019, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/12/19
71277

(Преамбула)

Моё желание сейчас состоит в том, чтобы понять смысл групповых гомологий и когомологий, но не в абстрактных формулировках, а на максимально простых примерах. В наилучшем случае - для маленьких конечных групп.

Учебника у меня нет. (Если порекомендуете простой, доходчивый и по-русски, буду рад.) Читаю
Варианта два: или понять геометрический смысл для вот этих пространств Эйленберга-МакЛейна (но примеры там страшноватенькие), или разобраться с алгебраическим. Что такое точная последовательность - я понимаю, но категорные формулировки, функторы - нет. И хочу обойтись без них.

Читаю определение оператора кограницы из
      $G$ - некая группа, $g_{\ldots}\in G$ - элементы этой группы;
      $M$ - некий $G$-модуль;
      $C^n(G,M)$ - группа всех функций $G^n\to M$, а одна из функций обозначена $\varphi\in C^n(G,M)$;
      $d$ - интересующий меня оператор кограницы, аналогичный оператору дифференциала дифф. формы в геометрических когомологиях, скажем, Де Рама.

Ну хорошо, выписал для себя пару примеров:
    $C^0\to C^1\colon\quad d^1\varphi(g)=g\varphi+(-1)^1\varphi=g\varphi-\varphi$
    $C^1\to C^2\colon\quad d^2\varphi(g_1,g_2)=g_1\varphi(g_2)+(-1)^1\varphi(g_1 g_2)+(-1)^2\varphi(g_1)=$
      $=g_1\varphi(g_2)-\varphi(g_1 g_2)+\varphi(g_1)$
Выглядит обескураживающе: почему такие формулы, что они значат?

Хочу подставить в качестве примера $G$ какие-нибудь простые примеры, прежде всего $S_3=\mathrm{Dih}_3$ как простейшую неабелеву. Кроме того, готов поупражняться с $\mathbb{Z}_2,V_4=\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2,\mathbb{Z}.$

Сталкиваюсь с такой проблемой. Надо взять $G$-модуль (над группой), чтобы в нём выбирать значения функций $\varphi(g).$ Но в обычных местах везде написано про $R$-модули (над кольцами). В википедии
дано лаконичное определение, и что печально, всего три-четыре примера, либо тривиальных, либо не подходящих.

Какие вы посоветуете взять примеры $G$-модулей, чтобы можно было их применить к $\mathrm{Dih}_3$? Желательно нетривиальные, разных размерностей (рангов?), но простенькие, чтобы можно было на бумажке что-то посчитать. Если можно $R$-модули превращать в $G$-модули для интересующей группы, то как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое групповой модуль, на простейших примерах?
Сообщение11.06.2019, 00:54 
Заслуженный участник


18/01/15
1570
Простого, доходчивого и по русски учебника по этим вопросам нет. Могу рекомендовать следующее:
Rotman, An introduction to the theory of groups, глава 7
Кузьмин, Гомологическая теория групп
Холл, Теория групп, глава 15
Suzuki, Group theory I, глава 2, параграф 7
Adem, Milgram, Cohomology of finite groups, глава 1.
Книги Маклейн, Гомология, и Браун, Когомологии групп --- более сложные.

-- 11.06.2019, 00:00 --

То, что модуль над группой и над ее групповым кольцом --- одно и то же, это тривиально.
Кертис, Райнер, Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, начало.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое групповой модуль, на простейших примерах?
Сообщение11.06.2019, 01:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/12/19
71277
vpb в сообщении #1398707 писал(а):
То, что модуль над группой и над ее групповым кольцом --- одно и то же, это тривиально.

Спасибо! В википедии сказано слабее: что они образуют одинаковые категории. Я подумал, что мало ли что это может значить.

Постараюсь разобраться. Но "хрен редьки не слаще". С групповыми кольцами у меня тоже опыта нет.

Выливаем воду из чайника, сводим задачу к предыдущей...

Имеется в виду групповое кольцо $\mathbb{Z}[G]$?

Правильно я понимаю, что это кольцо "многочленов" над символами $g\in G,$ перемножающимися по групповому закону?

Тогда $\mathbb{Z}[\mathrm{Dih}_3]$ - шестимерное пространство над $\mathbb{Z}.$ И над ним ещё надо построить модуль! Ужас! Кроме $R^n$ мне пока никакие в голову не приходят. Какие ещё посоветуете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое групповой модуль, на простейших примерах?
Сообщение11.06.2019, 01:45 
Заслуженный участник


18/01/15
1570
Munin в сообщении #1398710 писал(а):
Какие ещё посоветуете?
Единственное, что могу посоветовать --- первые две главы из Кэртиса-Райнера, не подряд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое групповой модуль, на простейших примерах?
Сообщение11.06.2019, 02:08 
Заслуженный участник


31/12/15
733
Модуль - это как бы линейное пространство, но числа там не образуют поля. Групповой модуль - это множество "векторов", которые можно складывать, вычитать (между собой) и умножать на элементы группы (как на числа). Почитайте Шафаревича "Основные понятия алгебры".

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое групповой модуль, на простейших примерах?
Сообщение11.06.2019, 02:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/12/19
71277
vpb
george66
Спасибо огромное за литературу! (Шафаревич у меня же был, но из головы вылетел...)

Видимо, "следующий заход" будет после скачивания и чтения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое групповой модуль, на простейших примерах?
Сообщение12.06.2019, 03:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/12/19
71277
В общем, я решил почитать Кузьмина. По первому впечатлению - замечательный учебник. Но надо читать не со 2-й главы, а с 1-й.

Первый же вопрос.

vpb в сообщении #1398707 писал(а):
То, что модуль над группой и над ее групповым кольцом --- одно и то же, это тривиально.

Я нашёл это на первой же странице § 1.1. Однако Вавилов меня уже приучил приглядываться к правому и левому.

Правильно ли я понимаю, что
    правый $G$-модуль является правым $\mathbb{Z}G$-модулем над групповым кольцом $\mathbb{Z}G,$
      поскольку действие на нём группы продолжается до действия на нём группового кольца по линейности; видимо, подразумевается дистрибутивность вида
      $$a(g_1+g_2)=ag_1+ag_2,\qquad a\in\textit{модуль},\,\,g_1,g_2\in\textit{группа},$$

Но симметричное ему утверждение состоит в том, что
    левый $G$-модуль является левым $G\mathbb{Z}$-модулем над уже другим групповым кольцом $G\mathbb{Z},$ в котором коэффициенты умножаются на элементы группы справа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое групповой модуль, на простейших примерах?
Сообщение12.06.2019, 04:56 
Заслуженный участник


31/12/15
733
Там нет никаких коэффициэнтов, по сути. Есть суммы и разности элементов группы, вроде $g+g-f$, что для краткости можно записать как $2g-f$, а также и $g2-f$, если хочется. Могу, конечно, что-то спутать, я от алгебры далёк.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое групповой модуль, на простейших примерах?
Сообщение12.06.2019, 05:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/12/19
71277
Да, там где-то мелькало, что коэффициенты в групповом кольце - коммутативное кольцо. Зато чуть дальше сказано, что правые и левые модули превращаются друг в друга отображением $g\to g^{-1},$ которое продолжается на кольцо и является в нём инволюцией.

-- 12.06.2019 05:15:19 --

Ещё мне пришло в голову, что для правого модуля логичней как раз писать и коэффициенты группового кольца справа, чтобы работала ассоциативность в естественном виде, типа
$$a(g\lambda)=(ag)\lambda,\qquad a\in\textit{модуль},\,\,g\in\textit{группа},\,\,\lambda\in\textit{кольцо коэффициентов}.$$
Но непонятно, почему бы не делать всего того же самого с левыми модулями и коэффициентами слева.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое групповой модуль, на простейших примерах?
Сообщение12.06.2019, 05:28 
Заслуженный участник


31/12/15
733
У нас кольцо с единицей (кольцо целых чисел). Если мы требуем, чтобы
$1g=g$
то
$2g=(1+1)g=g+g$
$3g=(1+1+1)g=g+g+g$
и так далее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое групповой модуль, на простейших примерах?
Сообщение12.06.2019, 06:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/12/19
71277
А! Понятно. Запись $g+g+g$ - это запись в терминах кольца (сложение и умножение в его сигнатуру входит). Никаких элементов не из кольца тут нет.

А вот запись $3g$ - это уже интерпретация кольца как модуля над кольцом коэффициентов $\mathbb{Z}.$ И вот тут уже можно обсуждать, левого модуля или правого модуля, и тогда уже писать, соответственно, $3g$ или $g 3.$ (Кстати, кольцо коэффициентов не обязательно должно быть $\mathbb{Z},$ что легко видно для колец остатков $\mathbb{Z}_n$ в качестве модулей.)

Но групповое кольцо, строго говоря, вообще имеет элементами функции, как я понял. То есть, там нет ни элемента $g+g+g,$ ни элемента $3g,$ а есть, строго говоря, только элемент $\bigl\{\begin{smallmatrix}g\mapsto 3 \\ h\mapsto 0, & h\ne g\end{smallmatrix},$ который для некоторого удобства можно обозначить $3\delta_g.$ А по сравнению с этим, запись и $3g,$ и $g+g+g$ является slight abuse of notation.

И поэтому, наверное, договариваясь понимать $3g$ как нашу $3\delta_g,$ мы можем уже произвольно выбрать, с какой стороны записывать коэффициенты.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group