2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Что такое групповой модуль, на простейших примерах?
Сообщение10.06.2019, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72301

(Преамбула)

Моё желание сейчас состоит в том, чтобы понять смысл групповых гомологий и когомологий, но не в абстрактных формулировках, а на максимально простых примерах. В наилучшем случае - для маленьких конечных групп.

Учебника у меня нет. (Если порекомендуете простой, доходчивый и по-русски, буду рад.) Читаю
Варианта два: или понять геометрический смысл для вот этих пространств Эйленберга-МакЛейна (но примеры там страшноватенькие), или разобраться с алгебраическим. Что такое точная последовательность - я понимаю, но категорные формулировки, функторы - нет. И хочу обойтись без них.

Читаю определение оператора кограницы из
      $G$ - некая группа, $g_{\ldots}\in G$ - элементы этой группы;
      $M$ - некий $G$-модуль;
      $C^n(G,M)$ - группа всех функций $G^n\to M$, а одна из функций обозначена $\varphi\in C^n(G,M)$;
      $d$ - интересующий меня оператор кограницы, аналогичный оператору дифференциала дифф. формы в геометрических когомологиях, скажем, Де Рама.

Ну хорошо, выписал для себя пару примеров:
    $C^0\to C^1\colon\quad d^1\varphi(g)=g\varphi+(-1)^1\varphi=g\varphi-\varphi$
    $C^1\to C^2\colon\quad d^2\varphi(g_1,g_2)=g_1\varphi(g_2)+(-1)^1\varphi(g_1 g_2)+(-1)^2\varphi(g_1)=$
      $=g_1\varphi(g_2)-\varphi(g_1 g_2)+\varphi(g_1)$
Выглядит обескураживающе: почему такие формулы, что они значат?

Хочу подставить в качестве примера $G$ какие-нибудь простые примеры, прежде всего $S_3=\mathrm{Dih}_3$ как простейшую неабелеву. Кроме того, готов поупражняться с $\mathbb{Z}_2,V_4=\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2,\mathbb{Z}.$

Сталкиваюсь с такой проблемой. Надо взять $G$-модуль (над группой), чтобы в нём выбирать значения функций $\varphi(g).$ Но в обычных местах везде написано про $R$-модули (над кольцами). В википедии
дано лаконичное определение, и что печально, всего три-четыре примера, либо тривиальных, либо не подходящих.

Какие вы посоветуете взять примеры $G$-модулей, чтобы можно было их применить к $\mathrm{Dih}_3$? Желательно нетривиальные, разных размерностей (рангов?), но простенькие, чтобы можно было на бумажке что-то посчитать. Если можно $R$-модули превращать в $G$-модули для интересующей группы, то как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое групповой модуль, на простейших примерах?
Сообщение11.06.2019, 00:54 
Заслуженный участник


18/01/15
1759
Простого, доходчивого и по русски учебника по этим вопросам нет. Могу рекомендовать следующее:
Rotman, An introduction to the theory of groups, глава 7
Кузьмин, Гомологическая теория групп
Холл, Теория групп, глава 15
Suzuki, Group theory I, глава 2, параграф 7
Adem, Milgram, Cohomology of finite groups, глава 1.
Книги Маклейн, Гомология, и Браун, Когомологии групп --- более сложные.

-- 11.06.2019, 00:00 --

То, что модуль над группой и над ее групповым кольцом --- одно и то же, это тривиально.
Кертис, Райнер, Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, начало.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое групповой модуль, на простейших примерах?
Сообщение11.06.2019, 01:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72301
vpb в сообщении #1398707 писал(а):
То, что модуль над группой и над ее групповым кольцом --- одно и то же, это тривиально.

Спасибо! В википедии сказано слабее: что они образуют одинаковые категории. Я подумал, что мало ли что это может значить.

Постараюсь разобраться. Но "хрен редьки не слаще". С групповыми кольцами у меня тоже опыта нет.

Выливаем воду из чайника, сводим задачу к предыдущей...

Имеется в виду групповое кольцо $\mathbb{Z}[G]$?

Правильно я понимаю, что это кольцо "многочленов" над символами $g\in G,$ перемножающимися по групповому закону?

Тогда $\mathbb{Z}[\mathrm{Dih}_3]$ - шестимерное пространство над $\mathbb{Z}.$ И над ним ещё надо построить модуль! Ужас! Кроме $R^n$ мне пока никакие в голову не приходят. Какие ещё посоветуете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое групповой модуль, на простейших примерах?
Сообщение11.06.2019, 01:45 
Заслуженный участник


18/01/15
1759
Munin в сообщении #1398710 писал(а):
Какие ещё посоветуете?
Единственное, что могу посоветовать --- первые две главы из Кэртиса-Райнера, не подряд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое групповой модуль, на простейших примерах?
Сообщение11.06.2019, 02:08 
Заслуженный участник


31/12/15
801
Модуль - это как бы линейное пространство, но числа там не образуют поля. Групповой модуль - это множество "векторов", которые можно складывать, вычитать (между собой) и умножать на элементы группы (как на числа). Почитайте Шафаревича "Основные понятия алгебры".

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое групповой модуль, на простейших примерах?
Сообщение11.06.2019, 02:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72301
vpb
george66
Спасибо огромное за литературу! (Шафаревич у меня же был, но из головы вылетел...)

Видимо, "следующий заход" будет после скачивания и чтения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое групповой модуль, на простейших примерах?
Сообщение12.06.2019, 03:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72301
В общем, я решил почитать Кузьмина. По первому впечатлению - замечательный учебник. Но надо читать не со 2-й главы, а с 1-й.

Первый же вопрос.

vpb в сообщении #1398707 писал(а):
То, что модуль над группой и над ее групповым кольцом --- одно и то же, это тривиально.

Я нашёл это на первой же странице § 1.1. Однако Вавилов меня уже приучил приглядываться к правому и левому.

Правильно ли я понимаю, что
    правый $G$-модуль является правым $\mathbb{Z}G$-модулем над групповым кольцом $\mathbb{Z}G,$
      поскольку действие на нём группы продолжается до действия на нём группового кольца по линейности; видимо, подразумевается дистрибутивность вида
      $$a(g_1+g_2)=ag_1+ag_2,\qquad a\in\textit{модуль},\,\,g_1,g_2\in\textit{группа},$$

Но симметричное ему утверждение состоит в том, что
    левый $G$-модуль является левым $G\mathbb{Z}$-модулем над уже другим групповым кольцом $G\mathbb{Z},$ в котором коэффициенты умножаются на элементы группы справа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое групповой модуль, на простейших примерах?
Сообщение12.06.2019, 04:56 
Заслуженный участник


31/12/15
801
Там нет никаких коэффициэнтов, по сути. Есть суммы и разности элементов группы, вроде $g+g-f$, что для краткости можно записать как $2g-f$, а также и $g2-f$, если хочется. Могу, конечно, что-то спутать, я от алгебры далёк.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое групповой модуль, на простейших примерах?
Сообщение12.06.2019, 05:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72301
Да, там где-то мелькало, что коэффициенты в групповом кольце - коммутативное кольцо. Зато чуть дальше сказано, что правые и левые модули превращаются друг в друга отображением $g\to g^{-1},$ которое продолжается на кольцо и является в нём инволюцией.

-- 12.06.2019 05:15:19 --

Ещё мне пришло в голову, что для правого модуля логичней как раз писать и коэффициенты группового кольца справа, чтобы работала ассоциативность в естественном виде, типа
$$a(g\lambda)=(ag)\lambda,\qquad a\in\textit{модуль},\,\,g\in\textit{группа},\,\,\lambda\in\textit{кольцо коэффициентов}.$$
Но непонятно, почему бы не делать всего того же самого с левыми модулями и коэффициентами слева.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое групповой модуль, на простейших примерах?
Сообщение12.06.2019, 05:28 
Заслуженный участник


31/12/15
801
У нас кольцо с единицей (кольцо целых чисел). Если мы требуем, чтобы
$1g=g$
то
$2g=(1+1)g=g+g$
$3g=(1+1+1)g=g+g+g$
и так далее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое групповой модуль, на простейших примерах?
Сообщение12.06.2019, 06:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72301
А! Понятно. Запись $g+g+g$ - это запись в терминах кольца (сложение и умножение в его сигнатуру входит). Никаких элементов не из кольца тут нет.

А вот запись $3g$ - это уже интерпретация кольца как модуля над кольцом коэффициентов $\mathbb{Z}.$ И вот тут уже можно обсуждать, левого модуля или правого модуля, и тогда уже писать, соответственно, $3g$ или $g 3.$ (Кстати, кольцо коэффициентов не обязательно должно быть $\mathbb{Z},$ что легко видно для колец остатков $\mathbb{Z}_n$ в качестве модулей.)

Но групповое кольцо, строго говоря, вообще имеет элементами функции, как я понял. То есть, там нет ни элемента $g+g+g,$ ни элемента $3g,$ а есть, строго говоря, только элемент $\bigl\{\begin{smallmatrix}g\mapsto 3 \\ h\mapsto 0, & h\ne g\end{smallmatrix},$ который для некоторого удобства можно обозначить $3\delta_g.$ А по сравнению с этим, запись и $3g,$ и $g+g+g$ является slight abuse of notation.

И поэтому, наверное, договариваясь понимать $3g$ как нашу $3\delta_g,$ мы можем уже произвольно выбрать, с какой стороны записывать коэффициенты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое групповой модуль, на простейших примерах?
Сообщение02.02.2020, 22:58 
Заслуженный участник


14/10/14
747
Munin в сообщении #1398696 писал(а):
Варианта два: или понять геометрический смысл для вот этих пространств Эйленберга-МакЛейна (но примеры там страшноватенькие), или разобраться с алгебраическим. Что такое точная последовательность - я понимаю, но категорные формулировки, функторы - нет. И хочу обойтись без них.
Тогда лучше "геометрический".

1. Пусть $G$ группа. Следующее есть (на смысловом уровне) одно и то же:
  • левый модуль $M$ над кольцом $\mathbb ZG$,
  • левый модуль $M$ над группою $G$,
  • абелева группа $M$ вместе с гомоморфизмом групп $G\to\operatorname{Aut}M$, где $\operatorname{Aut}M$ -- группа всех автоморфизмов $M$,
  • абелева группа $M$, и каждому элементу $g\in G$ сопоставлен автоморфизм $M$, причём произведению элементов сопоставляется композиция соответствующих автоморфизмов.

Munin в сообщении #1398696 писал(а):
Какие вы посоветуете взять примеры $G$-модулей, чтобы можно было их применить к $\mathrm{Dih}_3$?
Линейные представления (это соответствует частному случаю $M=\mathbb C^n$ или $\mathbb R^n$).

2. С точки зрения тополога, когомологии группы $G$ (снабжённой дискретною топологиею) -- это когомологии её классифицирующего пространства $BG$. Например, $H^*(G,\mathbb Z)=H^*(BG,\mathbb Z)$. (Здесь в левой части равенства мы рассматриваем $\mathbb Z$ как тривиальный $G$-модуль, то есть все элементы $G$ действуют на $\mathbb Z$ тождественным автоморфизмом.)

3. Что такое $BG$? Это топологическое пространство, такое что
  • оно линейно связно, его фундаментальная группа изоморфна $G$,
  • у него есть накрытие, пространство которого стягиваемо.
Для любой группы $BG$ существует и единственно с точностью до гомотопической эквивалентности.

4. Как построить $BG$? Достаточно придумать стягиваемое пространство $EG$, на котором $G$ действует свободно, причём проекция $EG\to EG/G$ накрытие. Тогда $EG/G$ есть $BG$.

5. Как построить $EG$? Иногда можно его угадать. Например, возьмём $G=\mathbb Z$. $\mathbb Z$ свободно действует на $\mathbb R$ ($n$ переводит $x\mapsto x+n$), факторизация по этому действию -- универсальное накрытие окружности $S^1$. Поэтому $B\mathbb Z=S^1$, $H^k(\mathbb Z,\mathbb Z)=H^k(S^1,\mathbb Z)=\begin{cases}\mathbb Z \text{ при }k=0,1,\\ 0\text{ иначе.}\end{cases}$

6. Существует явная конструкция $EG$ для любой $G$, она называется бар-конструкция. Она реализует $EG$ в виде (бесконечномерного) $CW$-комплекса. Ваши формулы из 1-го поста происходят именно оттуда.

Она проводится следующим образом. Сопоставим каждому упорядоченному набору $g_0,...,g_n$ элементов $G$ (некоторые из элементов набора могут быть одинаковые) $n$-мерный симплекс с вершинами, пронумерованными числами $0,...,n$. Этот симплекс будем обозначать $[g_0,...,g_n]$. Теперь склеим эти симплексы друг с другом: $(n-1)$-мерную грань симплекса $[g_0,...,g_n]$, натянутую на вершины с номерами $0,...,{i-1},{i+1},...,n$, отождествим с симплексом $[g_0,...,g_{i-1},g_{i+1},...,g_n]$ таким образом, что вершины с номерами $0,...,{i-1},{i+1},...,n$ приклеиваются соответственно к вершинам с номерами $0,1,...,n-1$ (дальше отображение приклеивания продолжается по линейности).

Это бесконечномерный $CW$-комплекс: каждому набору $g_0,...,g_n$ там соответствует ровно одна $n$-мерная клетка. $G$ действует на нём перестановкою клеток: она переводит клетку $[g_0,...,g_n]$ в $[gg_0,...,gg_n]$. Очевидно, это действие свободно; чуть менее очевидно, что полученный $CW$-комплекс стягиваем и описанное действие $G$ задаёт накрытие. Поэтому этот комплекс есть $EG$, а $BG=EG/G$.

    Подробности: Хатчер. Алгебраическая топология. § 1.B.

В орбите каждой клетки $EG$ есть ровно одна клетка, такая что первый элемент соответствующего набора есть единица групы $G$ (у клетки $[f_0,...,f_n]$ это клетка $[1,f_0^{-1}f_1,...,f_0^{-1}f_n]$.) Таким образом, $n$-мерные клетки $BG$ взаимно однозначно соответствуют упорядоченным наборам из $n$ элементов $G$.

7. Оказывается удобным ввести 2 вида обозначений для клеток $BG$. Во-первых, условимся образ клетки $[f_0,f_1,...,f_n]$\subset EG в $BG$ обозначать так же $[f_0,f_1,...,f_n]$ (такие обозначения неоднозначны). Кроме того, клетку $[1,f_1,f_2...,f_n]\subset BG$ будем обозначать также $[g_1|g_2|...|g_n]$, где $f_1=g_1$, $f_2=g_1g_2$, ..., $f_n=g_1g_2...g_n$. Такие обозначения однозначны.

8. Наконец, займёмся вычислением $H^*(BG,\mathbb Z)$ (будем использовать клеточные когомологии).

Как обычно, группа цепей $C_n(BG,\mathbb Z)$ порождена $n$-мерными клетками. Как устроено граничное отображение $\partial:C_n\to C_{n-1}$? В обозначениях без черт $\partial[1,f_1,...,f_n]=[f_1,...,f_n]-[1,f_2,...,f_n]+...\pm[1,f_1,...,f_{n-1}]$; например, $\partial [1,f_1,f_2]$ $=[f_1,f_2]-[1,f_2]+[1,f_1]$ $=[1,f_1^{-1}f_2]-[1,f_2]+[1,f_1]$. Это обычная граница симплекса (в рассмотренном примере -- треугольника). В обозначениях с чертами то же запишется $\partial[g_1|g_2]=[g_2]-[g_1g_2]+[g_1]$.

Мы хотим не гомологии, а когомологии, поэтому надо рассматривать двойственный комплекс $C^n=\mathrm{Hom}(C_n,\mathbb Z)$ с дифференциалом, который определяется соотношением $d\varphi(c)=\varphi(\partial c)$ (бывают другие соглашения о знаке, но на когомологии это не влияет).

Образующие $C_n$ $\leftrightarrow$ $n$-мерные клетки $\leftrightarrow$ упорядоченные $n$-ки элементов $G$, поэтому элементы $C^n$ $\leftrightarrow$ функции $G^n\to\mathbb Z$.

Пусть $\varphi$ $1$-мерная коцепь, посчитаем её дифференциал: $d\varphi([g_1|g_2])$ $=\varphi(\partial[g_1|g_2])$ $=\varphi([g_2]-[g_1g_2]+[g_1])$ $=\varphi([g_2])-\varphi([g_1g_2])+\varphi([g_1])$. Напоминаю, что мы рассматриваем тривиальное действие группы $G$, для этого случая это в точности 2-я формула отсюда:
Munin в сообщении #1398696 писал(а):
Ну хорошо, выписал для себя пару примеров:
$C^0\to C^1\colon\quad d^1\varphi(g)=g\varphi+(-1)^1\varphi=g\varphi-\varphi$
$C^1\to C^2\colon\quad d^2\varphi(g_1,g_2)=g_1\varphi(g_2)+(-1)^1\varphi(g_1 g_2)+(-1)^2\varphi(g_1)=$
$=g_1\varphi(g_2)-\varphi(g_1 g_2)+\varphi(g_1)$ Выглядит обескураживающе: почему такие формулы, что они значат?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое групповой модуль, на простейших примерах?
Сообщение03.02.2020, 10:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72301
Спасибо!
К сожалению, мне надо ещё познакомиться с представлениями. Видимо, до этого момента отложу пока свои попытки разобраться.

(Оффтоп)

Slav-27
Вы вызываете во мне сильный комплекс неполноценности. Предыдущий раз такое было с kry.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group