Ненатуральные(безначальные)числа и проблема континуума

[epros]

А.Связной писал(а):

Вы тоже не определили, что значит не "двузначная". Думаю, это не менее туманно, чем мой ответ.

"Двузначная логика" - значит оперирующая двумя логическими значениями. Обычно это "истина" и "ложь". Странно, что это приходится пояснять.

А.Связной писал(а):

Если логика "однозначная", то все высказывания такой логики имеют одну модальность, а потому истина не отличима от лжи.

Как всегда, я не понял, что Вы хотели сказать. Если логическое значение одно, то почему Вы говорите о двух: "истине" и "лжи"? К чему Вы вообще заговорили о какой-то "однозначной" логике?

А.Связной писал(а):

Я сказал, что забыл определить, строго ли принадлежит "двузначность" "однозначности", потому, что, как я понимаю, с точки зрения конструктивистов вопрос о существовании множества всех высказываний, имеющих одну модальность некорректен.

Опять же не понял. Зачем нам "множество всех высказываний, имеющих одну модальность"?

А.Связной писал(а):

С другой точки зрения это вполне возможно. "Двузначность" не может строго принадлежать "однозначности", если последнее множество пусто, а первое нет, если же эти множества не пусты, то "двузначность" вполне может строго или не строго принадлежать "однозначности". Я придерживаюь мнения, что однозначные высказывания (имеющие одну модальность) существуют - мы же говорим, про некоторые высказывания, что они противоречивы - это же не делает их несуществующими ? А вот с вопросом об эквивалентности "двузначности" и "однозначности" я еще не определеился. Поэтому и сказал, что забыл определить: строго ли принадлежит "двузначность" "однозначности", т.к. это зависит от того, на сколько они содержательно конечны или бесконечны.

Не понял ни-че-го. Это моё замечание о том, что конструктивная логика не является двузначной, породило такой поток слов?

А.Связной писал(а):

Теперь насчет Вашего вопроса о Геделе и "содержательно истинном утверждении", которое я нашел у "конструктивистов".
Я полагаю, что конструктивисты, так же, как и теоретики-множественники, опираются на аксиомы, выводят из них теоремы ? не такли ?

Ну да, понятия о том, что такое формальная теория, вроде бы одинаковые.

А.Связной писал(а):

Так вот это - формальная система, она может быть противоречивой, не противоречивой, разной. Внутри любой такой системы смысла нет. Содержание ее формулам (высказываниям) можно придать лишь из вне - из другой формальной (или неформальной) системы, имеющей больше выразительных свойств. Если таковой нет - то нет и смысла вообще.

Я не знаю что Вы понимаете под "смыслом", а лично я нахожу смысл теории в возможных её применениях.

А.Связной писал(а):

По теореме Геделя любая формальная система, способная определить натуральный ряд или неполна или противоречива (из-за аксиомы индукции). Без аксиомы индукции она не категорична. Если Вы, задавая мне вопрос, где я нашел содержательно истинные утверждения у конструктивистов, хотите сказать,

Я не "хочу сказать", а просто задаю вопрос.

А.Связной писал(а):

что у конструктивистов нет содержательно истинных утверждений,

Сначала объясните, что Вы имеете в виду под "содержательно истинными утверждениями", а потом обсудим, есть ли они у конструктивистов.

А.Связной писал(а):

если же Вы хотите сказать, что у "конструктивистов" нет формальной системы, например потому, что она неформальна,

Не хочу сказать. Конструктивная математика - это сплошь одни формальные системы.

А.Связной писал(а):

но есть содержательно (протистите - просто истинные) утверждения, тогда с формальной точки зрения такая неформальная система актуально противоречива, в ней нет никакого дедуктивного способа отличить истину от лжи, а потому она и представляет собой ту самую "однозначную" логику, и становится понятным, почему из нутри нее вопрос о самом ее существовании считается некорректным, а множество ее высказываний - пустым

Нет, не понять мне этого потока слов. Ладно, я верю, что Вы не автомат. А, заранее извиняюсь за вопрос, скажите: Вы случайно не тролль?

[А.Связной]

Цитата:

А.Связной писал(а):
Вы тоже не определили, что значит не "двузначная". Думаю, это не менее туманно, чем мой ответ.

Цитата:

"Двузначная логика" - значит оперирующая двумя логическими значениями. Обычно это "истина" и "ложь". Странно, что это приходится пояснять.

Это Вы определили "двузначную логику" - это и ежу ясно, Вы же сказали: не "двузначная" - определитесь сначала с этим.

Цитата:

А.Связной писал(а):
Если логика "однозначная", то все высказывания такой логики имеют одну модальность, а потому истина не отличима от лжи.

Цитата:

Как всегда, я не понял, что Вы хотели сказать. Если логическое значение одно, то почему Вы говорите о двух: "истине" и "лжи"? К чему Вы вообще заговорили о какой-то "однозначной" логике?

Да потому что Вы не определились с "не "двузначной."

Цитата:

А.Связной писал(а):
Я сказал, что забыл определить, строго ли принадлежит "двузначность" "однозначности", потому, что, как я понимаю, с точки зрения конструктивистов вопрос о существовании множества всех высказываний, имеющих одну модальность некорректен.

Цитата:

Опять же не понял. Зачем нам "множество всех высказываний, имеющих одну модальность"?

Я же сказал, что с позиции конструктивизма этот вопрос бессмысленен.

Цитата:

Я не знаю что Вы понимаете под "смыслом", а лично я нахожу смысл теории в возможных её применениях.

Аналогично. В конечном итоге вопрос о трансцендировании смысла упрется в ту неформальную систему, что называют действительностью.

Цитата:

Сначала объясните, что Вы имеете в виду под "содержательно истинными утверждениями", а потом обсудим, есть ли они у конструктивистов.

Скажем, аксиомы о параллельных, Вас устроят ?

Цитата:

Нет, не понять мне этого потока слов. Ладно, я верю, что Вы не автомат. А, заранее извиняюсь за вопрос, скажите: Вы случайно не тролль?

Извинения приняты.

[epros]

А.Связной писал(а):

Это Вы определили "двузначную логику" - это и ежу ясно, Вы же сказали: не "двузначная" - определитесь сначала с этим.

Оперирующая, вообще говоря, НЕ с двумя логическими значениями.

Ну и ну...

А.Связной писал(а):

Цитата:

Сначала объясните, что Вы имеете в виду под "содержательно истинными утверждениями", а потом обсудим, есть ли они у конструктивистов.

Скажем, аксиомы о параллельных, Вас устроят ?

А Вас? Я же Вас просил уточнить термин, который Вы использовали. Правильно ли я понял, что под "содержательно истинным утверждением" Вы понимате аксиому (уж о параллельных или нет, я не знаю), т.е. "утверждение, принимаемое без доказательств"?

[А.Связной]

epros писал(а):

А.Связной писал(а):

Это Вы определили "двузначную логику" - это и ежу ясно, Вы же сказали: не "двузначная" - определитесь сначала с этим.

Оперирующая, вообще говоря, НЕ с двумя логическими значениями.

Ну и ну...

А.Связной писал(а):

Цитата:

Сначала объясните, что Вы имеете в виду под "содержательно истинными утверждениями", а потом обсудим, есть ли они у конструктивистов.

Скажем, аксиомы о параллельных, Вас устроят ?

А Вас? Я же Вас просил уточнить термин, который Вы использовали. Правильно ли я понял, что под "содержательно истинным утверждением" Вы понимате аксиому (уж о параллельных или нет, я не знаю), т.е. "утверждение, принимаемое без доказательств"?

Ну и ну... Вы знаете, что определение через отрицание - не определяет ничего ? НЕ снег - это что

Про аксиому Вы все правильно поняли.

[epros]

А.Связной писал(а):

Ну и ну... Вы знаете, что определение через отрицание - не определяет ничего ? НЕ снег - это что

Это что угодно, но не снег.

И про конструктивную логику можно сказать много чего, но только не то, что она "двузначная".

Например, можно определить для конструктивной логики такие "логические значения":
"доказано",
"опровергнуто" (доказана недоказуемость),
"доказана неопровержимость",
...
и т.д., и т.п.

Но в точности два никак не получится.

А.Связной писал(а):

Про аксиому Вы все правильно поняли.

Т.е. принимаем аксиому - будет у нас "содержательно истинное" утверждение, не принимаем - не будет?
Вот например, ZFC принимает аксиому выбора, а ZF не принимает. Или обе эти версии теории множеств принимают аксиому бесконечности, а конструктивная математика - не принимает. Получается, что "содержательная истина" у всех разная?

[А.Связной]

Цитата:

Это что угодно, но не снег.

Все-равно это не определение, ну да ладно, в двузначной логике - да, но Вы предложили модальную конструктивистскую логику - не знаю, какое логическое значение приписать этому высказыванию, Вы как считаете ?

Цитата:

И про конструктивную логику можно сказать много чего, но только не то, что она "двузначная".

Это тоже сказать можно, продемонстрирую: "Конструктивистская логика двузначна".

Цитата:

Например, можно определить для конструктивной логики такие "логические значения":
"доказано",
"опровергнуто" (доказана недоказуемость),
"доказана неопровержимость",
...
и т.д., и т.п.

А какое логическое значение Вы определите для множества всех своих такого рода значений: "доказано", "опровергнуто", "доказана неопровержимость", "и т.д. и т.п." ? К тому же Вы не определили алгоритм их построения -это не по конструктивистски.

Цитата:

Но в точности два никак не получится.

?
Опять же, если Вы утверждаете это в рамках какой-либо конструктивистской модальной логики, скажите в какой, а то я не знаю, какое логическое значение приписано этому утверждению.

Цитата:

Т.е. принимаем аксиому - будет у нас "содержательно истинное" утверждение, не принимаем - не будет?
Вот например, ZFC принимает аксиому выбора, а ZF не принимает. Или обе эти версии теории множеств принимают аксиому бесконечности, а конструктивная математика - не принимает. Получается, что "содержательная истина" у всех разная?

Если отвечать в двузначной логике, то да.

[А.Связной]

Someone писал(а):

Всё, что Вы сочинили, весьма непонятно. Сумма двух счётных множеств есть счётное множество, которое нумеруется обычными натуральными числами. Поэтому "нумерация" двумя натуральными рядами легко преобразуется в нумерацию одним натуральным рядом. Поскольку одним натуральным рядом занумеровать нельзя, то двумя - тоже нельзя.

Вот аксиоматика арифметики c ненатуральными числами:

1)$`0\in \mathbb{`N}, 0`\in \mathbb {N`}$
2)$`n\in \mathbb{`N}\rightarrow S(`n)\in \mathbb{`N}, n`\in \mathbb{N`}\rightarrow S(n`)\in \mathbb{N`}$
3)$\nexists `n\in \mathbb{`N} (S(`n)=0), \nexists n`\in \mathbb{N`} (S(n`)=0`)$
4)$(S(`a)=`b \rightarrow (S(`c)=`b \rightarrow `a=`c, (S(a`)=b` \rightarrow (S(c`)=b` \rightarrow a`=c`$
+аксиома:
5)$\exists `n\in \mathbb {`N}, (S(`n)=`n=0`), \exists n`\in \mathbb {N`}, (S(n`)=n`=`0)$
И подправленная аксиома индукции:
5)$(P(S(`0)) \rightarrow (\foraal `n\neq 0`(P(`n) \rightarrow P(S(`n))) \rightarrow \forall `n \in \mathbb{`N}(P(`n)))$
$(P(S(0`)) \rightarrow (\foraal n`\neq `0(P(n`)\rightarrow P(S(n`))) \rightarrow \forall n` \in \mathbb{N`}(P(n`)))$

Вот формализация арифметики:
$`x+`0=`x$
$x`+0`=x`$
$`x_1+S(`x_2)=S(`x_1+`x_2)$
$x_1`+S(x_2`)=S(x_1`+x_2`)$
$`x \cdot `0 = `0$
$x` \cdot 0` = 0`$
$`x_1 \cdot S(`x_2)=`x_1 \cdot `x_2+`x_1$
$x_1` \cdot S(x_2`)=x_1` \cdot x_2`+x_1`$

Ну и как установить биекцию ?
Не вижу в этой аксиоматике ничего противоречивого. Ясно что между множествами $\mathbb {`N} \mathbb {N`}$ нет биекции – потому что ее нельзя установить для элементов `00` – они принадлежат сразу двум множествам и их нельзя разделить между ними не нарушив тождества одного из множеств самому себе. С другой стороны $\mathbb {`N}\mathbb {N`}$ всегда можно разбить на два подмножества – путем разделения между ними элементов `00` – тогда одно становиться множеством без нулевого (нейтрального) элемента, а второе – без последнего, вот вам и счетная, и несчетная бесконечность. [`0,0`] – это $\mathbb {`N}$ ~ [0`,`0] – это $\mathbb {N`}$, [`0,0`) ~ [0`,`0) ~ $\mathbb {N}$, а (`0,0`] и (0`,`0] ~ $\mathbb {R}$.
Предполагаю, что к множествам $\mathbb {Q}$ и $\mathbb {R}$ ведут перекрестные двуместные операции сложения и произведения соответственно. Пока же, для совместимости с теоретико-множественными представлениями об эквивалентности, можно положить: 2 аксиомы перекрестного некоммутативного сложения:
$`x_1+x_2`=`x_1 (`x_1 \in [`0,0`], x_2` \in [0`,`0])$
$x_1`+`x_2=x_1`(x_1` \in [0`,`0], `x_2 \in [`0,0`])$

Не знаю, как это все согласовывать с теорией множеств. Вот, например, аксиома: $\exists e \forall a(e\notin a)$ чему противоречит ?

[naiv1]

А.Связной писал(а):

1)$`0\in \mathbb{`N}, 0`\in \mathbb {N`}$

Интересно, что означает символ $`$ в этой и последующих строках?
И чем отличается $`0$ от $0`$?

[А.Связной]

naiv1 писал(а):

А.Связной писал(а):

1)$`0\in \mathbb{`N}, 0`\in \mathbb {N`}$

Интересно, что означает символ $`$ в этой и последующих строках?
И чем отличается $`0$ от $0`$?

Натуральный ряд не определяется категорично, символы ` нужны, чтобы отличать его моделии и не путать элементы множеств $\mathbb {`N}$ и $\mathbb {N`}$. Когда одна из них принимается за ${N}$, элементы второй становятся индукционно неразличимы. Биекция ${N}$ на свое подмножество - это установление 1-1 соответсвия между элементами разных моделей $N$ в условиях, когда они не различимы, т.е. по сути между элементами двух разных множеств. Когда говорят, что множество ${N}$ эквивалентно некотоому своему подмножеству, я понимаю это так: биекция - это способ показать что множество ${N}$ не определено категорично. Разница между этими множествами субъективна и проявляется только тогда, когда одно из них выбирается в качестве ${N}$. Может быть вы скажите, что элемент субъективности в математике неприемлем ? Я отвечу: в теории множеств принадлежность произвольного множества ${M}$ к классу конечных или бесконечных, тоже не определяется в теории, а зависит от субъективного выбора и задача Литлвуда это отчетливо продемонстрировала.

`0 и 0` становятся различимы как раз после того, когда выбор сделан. Один элемент становится нейтральным элементом выбранной модели натурального ряда, а второй бесконечно большим натуральным числом этой модели. В теории множеств этот элемент отождествляется с самим множеством ${\mathbb N}$.

Вообще, это простейший случай, когда моделей ${\mathbb N}$ только две. На самом деле их несчетное множество. Например, можно определить счетное множество ${\mathbb N```````...}$, так, чтобы достижение бесконечного большого элемента каждого ${\mathbb N``...}$ вело к переходу на другую модель натурального ряда, ранее не использовавшуюся. В этом и есть смысл несчетности множества всех подмножеств ${\mathbb N}$.

Однако, это будут рассуждения в линейной модели, где модели ${\mathbb N}$ просто следуют друг за другом. Более интересная интерпретация состоит в том, что модели натурального ряда замыкают две сингулярности выходя в плоскость, в объем и т.д., образуя замкнутые контуры. Тогда, например, можно попробовать различать множества $\mathbb {N},{Q}$ топологически, а несчетность множества $\mathbb {R}$ понимать, как невозможность топологической редукции его элементов на прямую или плоскость (например, в связи с тем, что они не представляют собой точки), но при этом не как полное отсутсвие упорядоченности, а как иную упорядоченность, скажем иерархическую, с возможностью задавать действительные числа через элементы моделей $\mathbb {N}$, как координаты в фрактальной структуре.