Хитрое тригонометрическое выражение.

[Sender]

(Оффтоп)

В принципе, по ключевым словам отыскивается и сама стенограмма:https://www.mccme.ru/free-books/arnold/VIA-schoolmath.pdf

[novichok2018]

Sender - спасибо за цитату.

[deep blue]

novichok2018 в сообщении #1437111 писал(а):

произведению трёх синусов, углы которых удваиваются (20,40,80). А это тригонометрический стандарт - домножаем на первый косинус и сворачиваем.

Разве $\sin(a)\sin(2a)\sin(4a)$ сворачивается так просто? Домножаем на $\cos(a)$ и получаем $\dfrac{\sin^2(2a)\sin(4a)}{2\cos(a)}$ и дальше приехали. Усложнили а не свернули.

(К примеру есть две похожие задачи, существенно различающиеся по трудности решения)

Найдите $\cos{\frac{\pi}{7}}\cos(\frac{2\pi}{7})\cos(\frac{4\pi}{7})$. Здесь домножением на первый синус сразу получаем: $\frac{\sin{\frac{8\pi}{7}}}{8\sin{\frac{\pi}{7}}}=-\frac{1}{8}$

Намного сложнее найти $\sin{\frac{\pi}{7}}\sin(\frac{2\pi}{7})\sin(\frac{4\pi}{7})$. Домножение ничего не дает.

[novichok2018]

deep blue -Вы правы, извините за ошибку. Склероз, маразм.

-- 30.01.2020, 08:24 --

Должно быть решение через комплексные числа и теорему Виета. Кто-то помнит, как это делается?

[Munin]

deep blue в сообщении #1437367 писал(а):

Намного сложнее найти $\sin{\frac{\pi}{7}}\sin(\frac{2\pi}{7})\sin(\frac{4\pi}{7})$. Домножение ничего не дает.

А ответ там очень красивый, если верить Wolfram Alpha: $\tfrac{\sqrt{7\,}}{\,8}.$ Как же оно делается?

[nnosipov]

Munin в сообщении #1437560 писал(а):

Как же оно делается?

Надо увидеть хорошо известное

$$\prod_{j=1}^{n-1}\sin{\frac{\pi j}{n}}=\frac{n}{2^{n-1}}$$

Это все очень искусственные примеры (частные случаи общих тождеств). Кстати, Maple упрощает $\sin{\pi/7}\sin{2\pi/7}\sin{4\pi/7}$ до

$$-\frac{1}{4}\sin{\pi/7}+\frac{1}{4}\sin{2\pi/7}+\frac{1}{4}\sin{4\pi/7}$$

Если попросить упростить последнее выражение, то тоже будет сложная задача (фактически это вычисление квадратичной суммы Гаусса в частном случае).

-- Чт янв 30, 2020 17:34:19 --

novichok2018 в сообщении #1437541 писал(а):

Должно быть решение через комплексные числа и теорему Виета.

Если речь об исходной задаче, то достаточно выразить все косинусы через $\zeta=\exp{(2\pi i/36)}$, раскрыть скобки и упростить по модулю минимального многочлена для $\zeta$ (в данном случае это $x^{12}-x^6+1$). Это общий алгоритм, о котором я писал выше.

[Sender]

novichok2018 в сообщении #1437541 писал(а):

Должно быть решение через комплексные числа и теорему Виета.

Про Виета не знаю, а комплексные числа удобно использовать при вычислении не произведений, а сумм подобного рода.

[thething]

Sender в сообщении #1437571 писал(а):

Про Виета не знаю, а комплексные числа удобно использовать при вычислении не произведений, а сумм подобного рода.

В данном случае комплексные числа как раз удобны. Рассмотрим тождество $1+z+z^2+...+z^{n-1}=\left(z-e^{\frac{2\pi i}{n}}\right)\left(z-e^{\frac{4\pi i}{n}}\right)...\left(z-e^{\frac{2(n-1)\pi i}{n}}\right)$ и подставим в него $z=1$.

[novichok2018]

В теореме Виета есть и суммы и произведения корней. Поэтому комплексные числа в комбинации с теоремой Виета применимы и для того, и для того.