Хитрое тригонометрическое выражение.

[kot-obormot]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться с упрощением выражения:

$\cos(10^o)\cos(30^o)\cos(50^o)\cos(70^o)$


Ясно, что $\cos(30^o)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, я пытался домножить и разделить на $\sin(10^o)$, чтобы по формуле синуса двойного угла свернуть, но это не привело к успеху. Пробовал применять формулу преобразования произведения косинусов в сумму, тоже в тупик зашел. Могу подробнее расписать, если требуется и какая-то из этих идей была толковой.

[Mihr]

Используйте тождество
$\cos\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))$

-- 26.01.2020, 19:21 --

kot-obormot в сообщении #1437029 писал(а):

тоже в тупик зашел

Покажите Ваш "тупик". Тупика быть не должно.

[nnosipov]

Если заранее знать, что ответом будет рациональное число, то это число находится по простому, но не совсем школьному алгоритму. А школьнику ничего не остается, как использовать разные тригонометрические тождества, с помощью которых можно переписывать данное выражение и надеяться, что оно после этого как-то упростится.

[kot-obormot]

$$\cos(10^o)\cos(30^o)\cos(50^o)\cos(70^o)=0.25(\cos(80^o)+\cos(60^o))(\cos(80^o)+\cos(20^o))=$$

$$=0.25(\cos(80^o)+0,5)(\cos(80^o)+\cos(20^o))$$

-- 26.01.2020, 20:03 --

$$\cos(10^o)\cos(30^o)\cos(50^o)\cos(70^o)=0.25(\cos(40^o)+\cos(20^o))(\cos(20^o)+\cos(120^o))=$$

$$=0.25(\cos(40^o)+\cos(20^o))(\cos(20^o)-0,5)$$

[Mihr]

kot-obormot, не надо разбрасываться. Пусть будет первый вариант, только уж доведите до конца. Продолжайте раскрывать скобки. И используйте повторно то же самое тождество.

[Утундрий]

Можно сэкономить пиксели, удерживая в записи только существенное:
Поскольку$(a)(b) \sim (a)+(b)$, то

$$(10)(30)(50)(70) \sim [(20)+(40)] [(20)+(120)] \sim (0)+(40)+(100)+(140)+(20)+(60)+(80)+(160)$$

откуда, вследствие $(180-a) \sim (a)$,

$$(0)+(20)+(40)+(60)+(80)$$

Осталось разобраться с $\cos \dfrac{\pi }{9}$.

[svv]

Это косинусы, поэтому $(40)+(140)=0$, и $(100)+(80)=0$, и $(20)+(160)=0$, и остаётся только $(0)+(60)$.

[kot-obormot]

$$\cos(10^o)\cos(30^o)\cos(50^o)\cos(70^o)=0.25(\cos(80^o)+\cos(60^o))(\cos(80^o)+\cos(20^o))=$$

$$=0.25(\cos^2(80^o)+\cos(80^o)\cos(20^o)+\cos(60^o)\cos(80^o)+\cos(20^o)\cos(60^o))=$$

$$=0.25\cos^2(80^o)+0.125(\cos(100^o)+\cos(60^o)+\cos(140^o)+\cos(20^o)+\cos(80^o)+\cos(40^o))=$$

$$=0.25\cos^2(80^o)+0.125(-\cos(80^o)+\cos(60^o)-\cos(40^o)+\cos(20^o)+\cos(80^o)+\cos(40^o))=$$

$$=0.25\sin^2(10^o)+0.125(0,5+\cos(20^o))=0.125(1-\cos(20^o)+0.125(0,5+\cos(20^o))=0,125+0,125\cdot 0,5=$$

$$=\dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{16}$$

Спасибо большое за помощь! Похоже ли на правду?

[Mihr]

Да, верно. Хотя можно было и несколько покороче.

[Aritaborian]

Не совсем по теме, но хочу высказаться. Это сейчас норма, в выкладках рациональные числа писать десятичными дробями? $0{,}125$ вместо $\frac{1}{8}$, $0{,}5$ вместо $\frac{1}{2}$, вот это вот всё. В наше время за такое по рукам били. (Я уж не говорю о точке вместо запятой...)

[Otta]

Aritaborian в сообщении #1437064 писал(а):

Это сейчас норма,

Это сейчас объяснимо, поскольку в бланках ответов ОГЭ и ЕГЭ, в большей части заданий, необходима запись в виде десятичной дроби или целого числа.

(Оффтоп)

А точка - западный стандарт, я как-то со временем сама привыкла больше к точке. ТеХ тоже больше любит точку, видите? а запятая - как раз наоборот, разделитель между разрядами в числах типа три миллиона: $3,000,000$. Собственно, поэтому и создаются пробелы по умолчанию, с которыми приходится бороться, если хочешь запятую использовать как разделитель между целой и дробной частью, как принято в некоторых странах :)

[novichok2018]

Можно перейти от четырёх косинусов к произведению трёх синусов, углы которых удваиваются (20,40,80). А это тригонометрический стандарт - домножаем на первый косинус и сворачиваем.

-- 27.01.2020, 11:22 --

Про точки/запятые. Вспоминаю рассказ мл. Капицы про то, как он написал в статью в популярный амер. журнал или газету что-то вроде того, что скоро на 5/6 земного шара по расчётам что-то произойдёт. Опубликовали в виде десятичной дроби и объяснили, что обычных они не учат в школе.

[arseniiv]

(Запятые и пробелы)

Otta в сообщении #1437083 писал(а):

а запятая - как раз наоборот, разделитель между разрядами в числах типа три миллиона: $3,000,000$. Собственно, поэтому и создаются пробелы по умолчанию, с которыми приходится бороться, если хочешь запятую использовать как разделитель между целой и дробной частью, как принято в некоторых странах :)

Я бы подумал, что это просто потому что она разделитель вообще списков, а не групп разрядов. Мне кажется, для групп разрядов требуются пробелы поменьше, но не знаю где глянуть. Вообще я бы посчитал запятые-разделители (вместо тонких пробелов) архаизмом. Они заметнее чем точки и портят всю читаемость десятичных дробей (в отличие от пробелов или хотя бы апострофов: $3\text'000\text'008.54$).

novichok2018 в сообщении #1437111 писал(а):

Опубликовали в виде десятичной дроби и объяснили, что обычных они не учат в школе.

Как-то сомнительно выглядит.

[Aritaborian]

Otta в сообщении #1437083 писал(а):

в бланках ответов ОГЭ и ЕГЭ, в большей части заданий, необходима запись в виде десятичной дроби или целого числа.

Ясно. Всё для фронта, всё для победы.

Otta в сообщении #1437083 писал(а):

А точка - западный стандарт

Но это не значит, что мы должны под него прогибаться. Не, в ЯП-то оно само собою... Я когда что-нить программирую, вообще опускаю первый ноль в десятичной дроби, пишу .123, но это ж программистский жаргон.

[novichok2018]

Цитату из Капицы я слышал, когда тот после вступления Филиппова читал первую лекцию на конференции в честь юбилея Л.Д.Кудрявцева в РУДН. Было 20 или 30 лет назад, наверное, не один я там был и слышал.

Про дроби, вот ещё цитата:
...Они определили, что в Америке 80% школьных учителей
математики не имеют никакого понятия о дробях: не могут сложить
половину и треть, не знают даже, что больше, половина или треть,
ничего не понимают. Не учили. А у школьников знания ещё хуже.
(В.И.Арнольд, Нужна ли в школе математика? Стенограмма пленарного доклада
Дубна, 21 сентября 2000 г.)