Учебник геометрии Смирновых

Mihr · 18/09/14 5015

Создаю эту тему в качестве ответа на предложение vpb

vpb в сообщении #1435891 писал(а):

А какие у Вас к ней претензии ? Выкатывайте, не стесняйтесь.

Хочу оговориться сразу: я вполне понимаю, что моё мнение здесь неизбежно будет поверхностным, непрофессиональным. Надеюсь, однако, что и люди, профессионально более близкие к данной теме, захотят в ней высказаться.

Итак, что мне не нравится в учебнике Смирновых? Прежде всего, отбор материала для учебника. И (в меньшей степени) изложение некоторых вопросов школьной геометрии.
По поводу авторского варианта подачи материала я выскажусь немного позже. Сейчас — моё ворчание по поводу отбора материала для учебника. Здесь, на мой взгляд, многовато лишнего. При том, что зачастую не хватает полезного материала. Да и расположение дополнительного материала, отобранного авторами, вызывает определённые вопросы.
Вот после вводной главы, главы о треугольнике и главы об окружности сразу следом идёт глава… «Кривые и графы». С формулой Эйлера и с проблемой четырёх красок. Для чего? Я понимаю, что трём-четырём школьникам из ста это может быть интересно. Но ведь абсолютное большинство школьников на эти страницы даже не заглянет. Зачем им таскать учебники с ненужными, лишними страницами? С целыми главами, помеченными звёздочкой, — как дополнительный материал? И если вставлять в этом месте дополнительный материал — неужели нельзя найти более уместный, хоть как-то связанный с предыдущим и с последующим изложением?
Далее — аналогично. Среди материала восьмого — девятого классов лихо разбросан щедрой рукой авторов такой материал как паркеты, циклоидальные кривые, изопериметрическая задача, задача оптимизации, полярные координаты. Да, «красиво», разнообразно! Однако эта красота лично мне напоминает пёстрое оперение попугая. Причём, не своей «яркостью», а примерно такой же степенью полезности…
И уж совсем непонятно, для чего материал девятого класса оканчивать весьма обширной главой, относящейся к стереометрии, если стереометрия затем будет изучаться в 10—11 классах? Не правильнее ли было бы более основательно изучить планиметрию, чем начинать размахивать руками над материалом следующих лет обучения? Да ещё и с привлечением таких тем, как «Звёздчатые многогранники», «Теорема Эйлера для многогранников», «Лист Мёбиуса», «Кристаллы — природные многогранники»? Кстати, здесь этот материал уже не отмечен звёздочками, выходит, авторы его считают основным и пропускать не рекомендуют. Ну, я понял так.
А затем о теореме Эйлера для многогранников, о звёздчатых многогранниках, о листе Мёбиуса, о кристаллах, как о природных многогранниках, Смирновы рассказывают снова — в учебнике «Геометрия 10—11». И здесь этот материал уже считается факультативным — здесь он отмечается звёздочкой. То, что в 9-м классе давалось как основной материал, в 10-м повторяется как факультативный! Опять же: для чего?
Совершенное недоумение у меня вызывает конец учебника. Очевидно, в конце 11-го класса школьнику, готовящемуся сдавать экзамены, крайне полезно повторить важнейшие вопросы курса геометрии. Здесь бы, — уж если возвращаться к прежним темам, — сделать бы обзор изученного, привести список важнейших теорем, напомнить наиболее употребительные формулы, систематизировать методы решения задач. Вместо этого авторы… повторно рассматривают полярные координаты. А ещё вводят сферические координаты. И ещё раз рассказывают об эллипсе, гиперболе и параболе… Не знаю, какие цели преследовали здесь авторы, но мне такое расположение материала не видится разумным.
Нередко приходится слышать мнение, что теоремы Чевы и Менелая полезны для изучения школьной геометрии. Авторы это мнение учли и указанные теоремы читателю преподнесли, за что им, разумеется, спасибо. Но зачем они поместили эти теоремы среди материала, предназначенного для конца 11-го класса? При обилии явно избыточного материала в 8—9 классах? А если вместо хотя бы части той ненужной пестроты, которой набит учебник планиметрии, где-то вставить материал с упомянутыми теоремами — не будет ли так получше?
«Построение циркулем и линейкой» — в качестве последнего (!) параграфа учебника 11-го класса тоже выглядит удивительно. Конечно, я далёк от понимания методических тонкостей преподавания школьной математики. Однако я знаю точно, что для человека, вовсю готовящегося сдавать ЕГЭ по математике, эта тема уже давно, скажем так, не актуальна.
Считаю, что правильней было бы отказаться вообще от звёздчатых многогранников. Вместо этого — ну, хотя бы подробнее поговорить о построении сечений многогранников, сопроводив рассказ бо́льшим количеством разобранных примеров (это одна из трудных тем для большинства реальных школьников; о вундеркиндах я сейчас не говорю). Можно было бы более подробно, более обстоятельно рассказать о векторно-координатном методе решения стереометрических задач (и, возможно, некоторых планиметрических). Для тех, кто и впрямь желает знать больше, можно расширить круг полезных теорем. Допустим, включить в учебник теорему о трёх синусах. Или разобрать задачу о нахождении плоских углов трёхгранного угла по его известным двугранным углам при рёбрах. И наоборот: о нахождении его двугранных углов по известным плоским углам. Не полезнее ли это, чем представление о полуправильных многогранниках? Или о многогранниках в задачах оптимизации? Ведь решать задачи оптимизации на многогранниках вряд ли станет кто-то из школьников. А если и станет, то, уж точно, не в рамках изучения геометрии. И точно не при подготовке к экзамену по математике — хоть на базовом уровне, хоть на профильном. Вместо ленты Мёбиуса не лучше ли рассказать о векторном произведении? Ведь и в самой геометрии полезно (нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми), а заодно и в физике… И, кстати о физике: а что если рассказать о телесных углах? Хотя бы вместо рассказа об оптических иллюзиях, украшенном творениями «импоссибилистов». Или оптические иллюзии чем-то помогают изучению геометрии?

novichok2018 · 16/04/18 ∞ 1129

Написание учебников превратилось в криминальный бизнес. Бандиты продвигают купленого автора с помощью купленных решений в министерстве, затем получают большие деньги от дотаций на издание и от раскупленного тиража. Исключения есть, но их мало, этой системе они нужны для отвода глаз. Что тут содержание обсуждать.

Munin · 30/01/06 72407

Mihr в сообщении #1436102 писал(а):

Вместо этого — ну, хотя бы подробнее поговорить о построении сечений многогранников, сопроводив рассказ бо́льшим количеством разобранных примеров (это одна из трудных тем для большинства реальных школьников; о вундеркиндах я сейчас не говорю).

Вот интересно, есть ли вообще где-нибудь сборник задач на стереометрические построения. От самых простых с постепенным ростом сложности. Потому что построение сечений - это выглядит очень продвинутой темой, а начинать надо с каких-то более простых.

Вот навскидку пара упражнений, которые я бы задал:

1. Нарисована (горизонтальная) плоскость, и треугольник $\triangle ABC$ в плоскости (например, вершиной $A$ ближе к зрителю, а основанием $BC$ - дальше).
Нарисовать пирамиду $NABC,$ такую, что точка $N$ находится:

$A$

$B$

$C$

$A$

$B$

$C$

(Потом аналогичный вопрос можно задать для четырёхугольной пирамиды: если основание - параллелограмм, если основание - трапеция, если основание - произвольный выпуклый четырёхугольник, если основание - невыпуклый четырёхугольник.)

2. Нарисована горизонтальная плоскость $\alpha,$ и наклонная к ней плоскость $\beta.$ Нарисована прямая пересечения этих плоскостей $\ell.$ Приведены прямые $a\subset\alpha$ и $b\subset\beta,$ перпендикулярные к $\ell$ : (а) в одной точке, (б) в разных точках. В плоскости $\beta$ лежит какая-то точка $B,$ а в плоскости $\alpha$ - её ортогональная проекция точка $A.$

$A$

$B$

$A.$

(И наоборот: если заданы прямая пересечения, точка и её проекция, построить примеры прямых в плоскостях.)
(Также стоит взять, наоборот, проекцию с горизонтальной плоскости на наклонную к ней плоскость. И "вверх", и "вниз".)

-- 20.01.2020 15:36:31 --

novichok2018
Да нет, речь о том, что написание учебника, даже выбор и компоновка материала, - непростая задача. И даже при наличии благих пожеланий, приходится учитывать:
- реальные возможности школьников и учителей;
- требования программы и экзаменационных задач (ОГЭ, ЕГЭ);
- распространённые типы олимпиадных задач (для которых бывают нужны теоремы Чевы и Менелая, например).

Mihr · 18/09/14 5015

По поводу авторского варианта подачи материала. Здесь тоже есть моменты, вызывающие определённые вопросы.

1. Разъяснение понятий «аксиома» и «теорема». Для меня абсолютно привычны такие формулировки: аксиома — утверждение, которое принимается без доказательств (для школьника здесь можно добавить: в силу своей очевидности); теорема — утверждение, которое доказывают на основе сформулированных ранее аксиом (или других теорем). В учебнике Смирновых понятия аксиомы и теоремы трактуются лишь как свойства геометрических фигур (соответственно не доказываемые или доказываемые) — «Геометрия 7—9 классы», с. 8. То есть, у обучаемого должна возникнуть иллюзия, будто понятия «аксиома» и «теорема» имеют отношение только к геометрии, более того — только к свойствам фигур, а не к математике вообще. Какой-либо реальной пользы (хотя бы методической) в таком произвольном сужении смысла терминов «аксиома» и «теорема» я углядеть не смог.

2. Излишне усложнённо, на мой взгляд, вводится понятие равенства фигур. Авторы намеренно избегают использования понятие наложения. Однако… всё-таки используют его, лишь не называя вслух. Начинают Смирновы с равенства отрезков. Именно, постулируется возможность операции откладывания «данного отрезка» от начала любого луча (там же, с. 12); полученный при этом отрезок называется «равным исходному». Далее (с. 12):

Цитата:

Равенство отрезков $AB$ и $A_1B_1$ записывается в виде $AB=A_1B_1$ . Оно означает, что если один из отрезков, например $AB$ , отложить на луче $A_1B_1$ от точки $A_1$ , то отрезок $AB$ при этом совместится с отрезком $A_1B_1$ .

Но разве «совмещение» отрезков не означает их наложения? В чём существенная разница?
Затем (на с. 23) авторы аналогично введут понятие равенства углов, вновь заменив слово «наложение» словом «совмещение».
Затем — когда очередь дойдёт до треугольников — Смирновы отдельно введут понятие равенства треугольников (на основании равенства отрезков и углов).
И только на странице 175 впервые появится простое определение равенства любых фигур (на основе понятия движения). Для сравнения: в учебнике Атанасяна равенство любых фигур вводится практически сразу (в издании 1999 г. — на с. 11), абсолютно прозрачно и без лишних слов.
Чего же добились Смирновы столь длинным построением интуитивно очевидного понятия? Большей формальной строгости? С этим, вообще-то, можно поспорить, но пусть даже так. Только к чему вся эта строгость в 7—8 классах? Не полезнее ли было бы потратить время на рассмотрение куда менее интуитивно ясных вещей, коих в геометрии — в том числе элементарной — вполне хватает?

3. Вокруг понятия расстояния тоже какие-то лишние «танцы с бубном». Сначала описывается процедура измерения длины отрезка (примерно так, как строится понятие действительного числа на основе его десятичной записи) — с честной оговоркой о том, что эта процедура может никогда не закончиться. Затем длина отрезка — независимо от того, завершилось ли её нахождение, — объявляется расстоянием между концами отрезка (с. 16). Какой вывод отсюда должен сделать вдумчивый семиклассник? Что между некоторыми парами точек расстояние может не существовать, коль скоро его нельзя измерить? Как бы там ни было, существование несоизмеримых отрезков — это вряд ли та тема, с которой школьнику стоило бы начинать изучение геометрии.

4. Использование «ссылок» типа «можно доказать, что…» мне кажется не очень-то уместным в учебниках — даже в вузовских. А уж в учебниках для средней школы, по-моему, оно нежелательно совсем. Тут уж — либо доказывай, либо хоть как-то поясняй свою мысль (в курсе геометрии — хотя бы рисунком), либо, наконец, не упоминай совсем. Смирновы на с. 12 вводят операции сложения и вычитания отрезков. И тут же (на следующей странице) пишут:

Цитата:

Можно доказать, что для сложения отрезков выполняются свойства, аналогичные свойствам сложения положительных чисел:
1. $a+b=b+a$ (коммутативность);
2. $(a+b)+c=a+(b+c)$ (ассоциативность).

Нет, на самом деле спасибо авторам за то, что они не взялись доказывать семиклассникам эти свойства. Но раз уж эти свойства сформулированы явно, можно было бы и пояснить их соответствующими картинками. Ясные зрительные образы способствуют и лучшему пониманию, и лучшему запоминанию материала. Или это — уже не забота авторов?

warlock66613 · 02/08/11 7003

Mihr в сообщении #1436363 писал(а):

Но разве «совмещение» отрезков не означает их наложения? В чём существенная разница?

Здесь явно под совмещением понимается совпадение, равенство-которое-не-конгруэнтность.

Munin · 30/01/06 72407

Mihr в сообщении #1436363 писал(а):

Для меня абсолютно привычны такие формулировки: аксиома — утверждение, которое принимается без доказательств (для школьника здесь можно добавить: в силу своей очевидности)

Вот слова про "очевидность" потом очень мешают, если начать обсуждать, например, аксиомы группы.

Mihr в сообщении #1436363 писал(а):

Для сравнения: в учебнике Атанасяна равенство любых фигур вводится практически сразу (в издании 1999 г. — на с. 11), абсолютно прозрачно и без лишних слов.

Ну, там тоже не всё идеально. Например, Атанасян акцентирует внимание на том, что фигура $\Phi_1$ сама накладывается на $\Phi_2,$ а не её копия. Я помню, как в детстве мучился именно с этим пунктом: надо различать "движущиеся" и "не движущиеся" фигуры на сложном чертеже. Например, пусть два различных треугольника равны, но при этом имеют общую сторону: эта сторона должна "двигаться" или "быть неподвижной", когда мы начинаем двигать один треугольник, чтобы наложить на второй? С копией было бы проще.

Второй момент - с калькой. Это отлично! Если бы только нынешние дети знали кальку. Это позволяет переворачивать фигуры. Но с этим возникают сложности для трёхмерных фигур. Для них надо отдельно оговаривать, что их тоже можно переворачивать, однако апеллировать к кальке уже не поможет. Ну, наверное, это можно отложить до начала стереометрии (10 класс).

А вообще, дефинировать равенство сначала только для отрезков, углов и треугольников, а только потом - для любых фигур - это же делается и в других учебниках, например, Погорелова. Смирновы тут не изобретатели.

Mihr в сообщении #1436363 писал(а):

Использование «ссылок» типа «можно доказать, что…» мне кажется не очень-то уместным в учебниках — даже в вузовских. А уж в учебниках для средней школы, по-моему, оно нежелательно совсем. Тут уж — либо доказывай, либо хоть как-то поясняй свою мысль (в курсе геометрии — хотя бы рисунком), либо, наконец, не упоминай совсем.

Сложный вопрос. По некоторым вопросам было бы логично добиваться не "замкнутости" текста, а наоборот, показать, что предмет не исчерпывается сказанным на уроке (и вообще школьным курсом). Однако с "хоть как-то поясняй свою мысль, хотя бы рисунком" - согласен.

Mihr в сообщении #1436363 писал(а):

Цитата:

Можно доказать, что для сложения отрезков выполняются свойства, аналогичные свойствам сложения положительных чисел:
1. $a+b=b+a$ (коммутативность);
2. $(a+b)+c=a+(b+c)$ (ассоциативность).

...раз уж эти свойства сформулированы явно, можно было бы и пояснить их соответствующими картинками. Ясные зрительные образы способствуют и лучшему пониманию, и лучшему запоминанию материала.

Кстати, тут бы очень подошли цветные рисунки. Как вы относитесь к тому, чтобы учебник по геометрии пользовался цветными рисунками? (В школе цветные мелки часто доступны, кстати.)

Mihr · 18/09/14 5015

warlock66613,
я не могу ухватить Вашу мысль. Попробую изложить ситуацию подробнее. Единственный способ построения равного отрезка у Смирновых описан так:

Цитата:

Одной из основных операций, которую можно производить с отрезками, является операция откладывания данного отрезка на данном луче от его вершины. Получающийся при этом отрезок называется равным исходному отрезку.

Что значит "отложить данный отрезок" - мне как-то непонятно. По мне, это как раз и значит "отложить отрезок, равный данному", но тогда, выходит, мы равенство уже используем - ещё до того, как оно определено! Но давайте даже пропустим эту трудность, вообразим, что мы отложили не "копию отрезка", а в каком-то смысле "сам отрезок", пусть будет так. Всё равно дальше - ничуть не легче. Ведь дальше нам нужно уже не построить отрезок, равный данному, а сравнить его с уже существующим отрезком. И для выполнения равенства он должен уже совпасть с этим самым существующим. Тут и возникает вопрос: что значит "совпасть"? По мне, это как раз и значит: точно наложиться на существующий. Вы же видите здесь некий иной смысл, говорите о равенстве, но не конгруэнтности. Каким образом мы можем проверить равенство, если само понятие равенства (для уже существующих отрезков) мы ещё только строим? :roll:

Munin · 30/01/06 72407

Mihr в сообщении #1436388 писал(а):

Что значит "отложить данный отрезок" - мне как-то непонятно. По мне, это как раз и значит "отложить отрезок, равный данному", но тогда, выходит, мы равенство уже используем - ещё до того, как оно определено!

Я глянул: Погорелов не говорит про равные отрезки и углы, он говорит про равные длины и величины углов. Так что, можно это место понимать как "отложить отрезок с длиной, равной длине данного отрезка". С остальным вашим пониманием и возражениями я согласен.

Mihr · 18/09/14 5015