Учебник геометрии Смирновых

[Mihr]

Кажется, о том, что движение сохраняет и углы тоже, нам говорили. Как это доказывалось (и доказывалось ли) - сейчас уже не могу вспомнить. Наиболее естественно, я полагаю, было бы здесь сослаться на то, что равные треугольники имеют равные соответствующие углы.

[Munin]

Mihr в сообщении #1436541 писал(а):

Наиболее естественно, я полагаю, было бы здесь сослаться на то, что равные треугольники имеют равные соответствующие углы.

А нет ли здесь логического круга: мы определяем, что такое равные треугольники, в конечном счёте через движение.

[Mihr]

Munin в сообщении #1436567 писал(а):

А нет ли здесь логического круга

Да, конечно, такой метод нельзя признать годным. Всё-таки, думаю, при объяснениях на уровне "кальки" на это можно закрыть глаза. Однако ещё раз: я не помню, как на самом деле нам доказывали, что движение сохраняет углы. И не помню, доказывали ли это вообще

[warlock66613]

Mihr в сообщении #1436388 писал(а):

Каким образом мы можем проверить равенство, если само понятие равенства (для уже существующих отрезков) мы ещё только строим

В геометрии есть два основных отношения между фигурами: эти отношения у Колмогорова называются "равенство" и "конгруэнтность". У Смирновых то же самое, только конгруэнтность они называют "равенством", а равенство - "совпадением". "Отрезки совпадают" означает, что это один и тот же отрезок. Аксиома, вводимая Смирновыми, связывает между собой операцию "отложить данный отрезок на заданном луче" и "равенство отрезков": именно, если отрезок $AB$, один из двух равных отрезков $AB$ и $CD$, отложить на луче $CD$, то получится отрезок $CD$:

$$[AB] \cong [CD] \Leftrightarrow \text{отложить}\left\Big([AB]\, \text{на}\, \left[CD \right) \right\Big) \equiv [CD].$$

Разумеется, я не думаю, что семиклассник в состоянии это адекватно воспринять.

[Mihr]

warlock66613,
вроде бы, понял, о чём Вы говорите, но чем "совпадение" отрезков на луче лучше (понятнее) наложения - всё равно не вижу.
(А зачем всё это семиклассникам - стало ещё менее понятно).

[vpb]

Mihr в сообщении #1436571 писал(а):

Однако ещё раз: я не помню, как на самом деле нам доказывали, что движение сохраняет углы. И не помню, доказывали ли это вообще

Не доказывали, и доказывать не могли. Логическая схема темы про углы следующая. То, что конгруэнтные треугольники имеют равные углы --- следует из того, что конгруэнтные углы имеют равную угловую меру. Это же утверждение является, на самом деле, просто тавтологией определения. А определение угловой меры следующее. Из колмогоровской аксиоматики следует такая теорема:

Теорема. Существует единственная, с точностью до пропорциональности, инвариантная относительно движений функция, определенная на множестве углов, удовлетворяющая некоторым естественным условиям (не равная тождественно нулю, неотрицательная, аддитивная).

Вот эта инвариантная функция, подходящим образом нормированная (чтобы прямой угол был 90 градусов), и есть угловая мера. (Сама теорема очень нетривиальна, что называется, выполнено профессионалами, не пытайтесь повторить.) Доказательство, вероятно, есть в книге Донеддю, Евклидова планиметрия, и в других книгах по основаниям геометрии.

[Mihr]

vpb, спасибо.

(Оффтоп)

Иногда завидую математикам: им сходу ясно то, над чем мне приходится размышлять.

[vpb]

(Оффтоп)

Mihr в сообщении #1436642 писал(а):

Иногда завидую математикам: им сходу ясно то, над чем мне приходится размышлять.

Нет, мне тоже над этими вещами много пришлось размышлять в последние месяцы.

[Munin]

Какбытотамнибыло, vpb, спасибо!

[пианист]

vpb в сообщении #1436641 писал(а):

Вот эта инвариантная функция, подходящим образом нормированная (чтобы прямой угол был 90 градусов), и есть угловая мера. (Сама теорема очень нетривиальна, что называется, выполнено профессионалами, не пытайтесь повторить.) Доказательство, вероятно, есть в книге Донеддю, Евклидова планиметрия

Вы имеете в виду теорему 3 из раздела 2.13.6?

[Mihr]

vpb в сообщении #1436468 писал(а):

Следует сказать, что учебники по геометрии можно разделить, имхо, на "научные" и "учительские". Научные --- Киселев, Погорелов, Атанасян. Учительские --- Смирновы, Мерзляк, и отчасти Шлыков.

vpb, а какой из школьных учебников геометрии Вы назвали бы лучшим (по совокупности качеств)? Вот, допустим, от Вашего выбора зависит, по какому из известных Вам учебников станет учиться Ваш внук - в этом случае Вы который учебник выбрали бы? Мне довольно интересно.

[D'Amir]

Немного не по теме, но отдельное обсуждение для этого создавать не хочется: есть ли здесь те, кто пользовался школьными учебниками по геометрии Прасолова (Бутузов, Прасолов, Кадомцев). Или он уже не входит в перечень разрешённых? Как я понимаю, Бутузов и Прасолов теперь являются соавторами учебника Атанасяна. Всегда нравились книги Прасолова по "взрослой" геометрии, по истории математики. Интересно, какой у него получился школьный учебник. Я его, конечно, просматривал, но может кто-то с ним работал в школе или где-то ещё.

Для примера добавил небольшой отрывок из старой версии этого учебника, в которой обсуждается упоминавшаяся здесь тема равенства фигур.

(Оффтоп)

[Munin]

Эта формулировка в точности совпадает с учебником Атанасяна (кроме "калька" -> "прозрачная бумага"). Только рисунок другой.