2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 При перемене мест множителей произведение не меняется
Сообщение19.01.2020, 18:08 


10/01/20
5
Привет! Пожалуйста, можете ответить, почему $a \cdot b = b \cdot a$ логическим методом (без проверок). Заранее спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: При перемене мест множителей произведение не меняется
Сообщение19.01.2020, 19:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4992
Возьмите тетрадный лист в клетку, обведите (по линиям сетки) прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Сколько в нём клеток?

 Профиль  
                  
 
 Re: При перемене мест множителей произведение не меняется
Сообщение19.01.2020, 20:57 
Заслуженный участник


31/12/15
935
Для натуральных чисел это доказывается по индукции. Скачайте книгу Фрейденталь "Математика в науке и вокруг нас" (она популярная), прочитайте главу "До бесконечности".

 Профиль  
                  
 
 Re: При перемене мест множителей произведение не меняется
Сообщение19.01.2020, 21:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12445
У кого какие идеи, что может означать "ответить логическим методом (без проверок)".

 Профиль  
                  
 
 Re: При перемене мест множителей произведение не меняется
Сообщение19.01.2020, 21:34 


10/01/20
5
Под "логическим методом" я подразумеваю объяснение без самого решения. То есть, не на примере показать, что $2 \times 3 = 3 \times 2$, а объяснить это в теории
Утундрий в сообщении #1436018 писал(а):
У кого какие идеи, что может означать "ответить логическим методом (без проверок)".

 Профиль  
                  
 
 Re: При перемене мест множителей произведение не меняется
Сообщение19.01.2020, 21:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12445
Ага! (В. Пух)
"на примере" = "для частных случаев"
"объяснение без решения" = "доказательство"

Осталось расшифровать "объяснить в теории".

 Профиль  
                  
 
 Re: При перемене мест множителей произведение не меняется
Сообщение19.01.2020, 21:50 


20/01/12
197
Утундрий в сообщении #1436018 писал(а):
У кого какие идеи, что может означать "ответить логическим методом (без проверок)".

Это может означать, что вопрошающий ничего не слышал про Абелеву группу..
Только и всего..

 Профиль  
                  
 
 Re: При перемене мест множителей произведение не меняется
Сообщение19.01.2020, 21:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4992
=SSN= в сообщении #1436026 писал(а):
Это может означать, что вопрошающий ничего не слышал про Абелеву группу
..

Неудивительно. Вопрос задан семиклассницей.

 Профиль  
                  
 
 Re: При перемене мест множителей произведение не меняется
Сообщение19.01.2020, 21:55 


20/01/12
197
Mihr в сообщении #1436027 писал(а):
Неудивительно. Вопрос задан семиклассницей.

Из чего это следует??? Или это аксиома?.. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: При перемене мест множителей произведение не меняется
Сообщение19.01.2020, 22:09 
Заслуженный участник


18/01/15
3224
=SSN= в сообщении #1436028 писал(а):
Из чего это следует??? Или это аксиома?.. :
Из первого сообщения ТС на форуме, несколько дней назад.

-- 19.01.2020, 21:18 --

Varvara1210
То, что $a\cdot b=b\cdot a$, можно наглядно пояснить в общем случае, а можно строго доказать. Наглядно пояснить так. Начертим, правда, прямоугольничек размером $a\times b$ в тетрадке (точнее, представим, что начертили). Если посчитать клеточки в нем по строчкам, то получится $b+b+\ldots+b$, (всего $a$ слагаемых), то есть $b\cdot a$. А если посчитать по столбиками, то $a+a+\ldots+a$ ($b$ слагаемых), то есть $a\cdot b$. Поскольку должно получиться одно и то же, то заключаем, что всегда $a\cdot b=b\cdot a$.

-- 19.01.2020, 21:26 --

Насчет доказать же гораздо хуже. Я думаю, достаточно строгое доказательство (более строгое, чем наглядное объяснение) появилось аж в конце 19 века. То, что в книжке Фрейденталя написано по этому поводу, Вам вряд ли пойдет впрок. Тут надо иметь культуру мышления, знать, что такое математическая индукция, например (а на самом деле мыслить еще гораздо глубже). Фрейденталь неправ, думая, что он написал так уж доступно. Лучше почитайте в той же главе про бесконечную гостиницу, или про простые числа, или про иррациональность корня из двух. Это будет интересно и гораздо понятнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: При перемене мест множителей произведение не меняется
Сообщение19.01.2020, 22:32 


20/01/12
197
vpb в сообщении #1436030 писал(а):
То, что $a\cdot b=b\cdot a$, можно наглядно пояснить в общем случае, а можно строго доказать.

Строго доказать?.. :)
Ну докажите мне, что $a\cdot b=b\cdot a$, где:
"a" и "b" - $\sigma$ - Ма́трицы Па́ули..

 Профиль  
                  
 
 Re: При перемене мест множителей произведение не меняется
Сообщение19.01.2020, 23:09 
Заслуженный участник


18/01/15
3224
=SSN=
Позвольте напомнить, что обсуждается умножение всего лишь чисел, а не матриц.

 Профиль  
                  
 
 Re: При перемене мест множителей произведение не меняется
Сообщение20.01.2020, 01:10 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
=SSN=
И поминать абелевы группы здесь было зря. Там это часть аксиом, для натуральных же например чисел это обычно в аксиомы не входит (хотя смотря какие брать).

 Профиль  
                  
 
 Re: При перемене мест множителей произведение не меняется
Сообщение20.01.2020, 04:06 


20/01/12
197
vpb в сообщении #1436037 писал(а):
Позвольте напомнить, что обсуждается умножение всего лишь чисел, а не матриц.

Позвольте узнать, где в вопросе ТС явно указано, "что обсуждается умножение всего лишь чисел"?

 Профиль  
                  
 
 Re: При перемене мест множителей произведение не меняется
Сообщение20.01.2020, 08:14 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
=SSN= в сообщении #1436026 писал(а):
Это может означать, что вопрошающий ничего не слышал про Абелеву группу
Обычно сначала вводят определение математического объекта (A: Абелевой группы), а потом доказывают, что другие математические объекты (B: множество действительных числ без нуля с операцией умножение) являются примером определённого математического объекта. Поэтому вопрошаемое ТСом доказательство является (среди всего прочего) необходимым требованием на пути, который нужно пройти, чтобы показать, что B является примером A. Но никак не наоборот, как можно предположить из вашего заявления.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Dmitriy40


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group