При перемене мест множителей произведение не меняется

[Varvara1210]

Привет! Пожалуйста, можете ответить, почему $a \cdot b = b \cdot a$ логическим методом (без проверок). Заранее спасибо

[Mihr]

Возьмите тетрадный лист в клетку, обведите (по линиям сетки) прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Сколько в нём клеток?

[george66]

Для натуральных чисел это доказывается по индукции. Скачайте книгу Фрейденталь "Математика в науке и вокруг нас" (она популярная), прочитайте главу "До бесконечности".

[Утундрий]

У кого какие идеи, что может означать "ответить логическим методом (без проверок)".

[Varvara1210]

Под "логическим методом" я подразумеваю объяснение без самого решения. То есть, не на примере показать, что $2 \times 3 = 3 \times 2$, а объяснить это в теории

Утундрий в сообщении #1436018 писал(а):

У кого какие идеи, что может означать "ответить логическим методом (без проверок)".

[Утундрий]

Ага! (В. Пух)
"на примере" = "для частных случаев"
"объяснение без решения" = "доказательство"

Осталось расшифровать "объяснить в теории".

[=SSN=]

Утундрий в сообщении #1436018 писал(а):

У кого какие идеи, что может означать "ответить логическим методом (без проверок)".

Это может означать, что вопрошающий ничего не слышал про Абелеву группу..
Только и всего..

[Mihr]

=SSN= в сообщении #1436026 писал(а):

Это может означать, что вопрошающий ничего не слышал про Абелеву группу
..

Неудивительно. Вопрос задан семиклассницей.

[=SSN=]

Mihr в сообщении #1436027 писал(а):

Неудивительно. Вопрос задан семиклассницей.

Из чего это следует??? Или это аксиома?.. :)

[vpb]

=SSN= в сообщении #1436028 писал(а):

Из чего это следует??? Или это аксиома?.. :

Из первого сообщения ТС на форуме, несколько дней назад.

-- 19.01.2020, 21:18 --

Varvara1210
То, что $a\cdot b=b\cdot a$, можно наглядно пояснить в общем случае, а можно строго доказать. Наглядно пояснить так. Начертим, правда, прямоугольничек размером $a\times b$ в тетрадке (точнее, представим, что начертили). Если посчитать клеточки в нем по строчкам, то получится $b+b+\ldots+b$, (всего $a$ слагаемых), то есть $b\cdot a$. А если посчитать по столбиками, то $a+a+\ldots+a$ ($b$ слагаемых), то есть $a\cdot b$. Поскольку должно получиться одно и то же, то заключаем, что всегда $a\cdot b=b\cdot a$.

-- 19.01.2020, 21:26 --

Насчет доказать же гораздо хуже. Я думаю, достаточно строгое доказательство (более строгое, чем наглядное объяснение) появилось аж в конце 19 века. То, что в книжке Фрейденталя написано по этому поводу, Вам вряд ли пойдет впрок. Тут надо иметь культуру мышления, знать, что такое математическая индукция, например (а на самом деле мыслить еще гораздо глубже). Фрейденталь неправ, думая, что он написал так уж доступно. Лучше почитайте в той же главе про бесконечную гостиницу, или про простые числа, или про иррациональность корня из двух. Это будет интересно и гораздо понятнее.

[=SSN=]

vpb в сообщении #1436030 писал(а):

То, что $a\cdot b=b\cdot a$, можно наглядно пояснить в общем случае, а можно строго доказать.

Строго доказать?.. :)
Ну докажите мне, что $a\cdot b=b\cdot a$, где:
"a" и "b" - $\sigma$ - Ма́трицы Па́ули..

[vpb]

=SSN=
Позвольте напомнить, что обсуждается умножение всего лишь чисел, а не матриц.

[arseniiv]

=SSN=
И поминать абелевы группы здесь было зря. Там это часть аксиом, для натуральных же например чисел это обычно в аксиомы не входит (хотя смотря какие брать).

[=SSN=]

vpb в сообщении #1436037 писал(а):

Позвольте напомнить, что обсуждается умножение всего лишь чисел, а не матриц.

Позвольте узнать, где в вопросе ТС явно указано, "что обсуждается умножение всего лишь чисел"?

[B@R5uk]

=SSN= в сообщении #1436026 писал(а):

Это может означать, что вопрошающий ничего не слышал про Абелеву группу

Обычно сначала вводят определение математического объекта (A: Абелевой группы), а потом доказывают, что другие математические объекты (B: множество действительных числ без нуля с операцией умножение) являются примером определённого математического объекта. Поэтому вопрошаемое ТСом доказательство является (среди всего прочего) необходимым требованием на пути, который нужно пройти, чтобы показать, что B является примером A. Но никак не наоборот, как можно предположить из вашего заявления.