Экстремали функционала - 2

[Azusa_Nakano]

Pphantom в сообщении #1435496 писал(а):

Это вам вообще-то фактически ответ написали. Неужели трудно хотя бы погуглить?

Но у нас ведь в логарифме под корнем помимо $y$ еще и $D$ есть, поэтому я не думаю что она точно также выражается через $arccosh()$

[ИСН]

Не надо думать. Надо выражать.

[Azusa_Nakano]

ИСН в сообщении #1435537 писал(а):

Не надо думать. Надо выражать.

А что с моим решением тогда не так из прошлого поста, в какой строке ошибка?

[Azusa_Nakano]

Потому что вот мы разделяем переменные:
$\int\frac{dy}{\sqrt{Dy^2-1}}=\int dx$
Записать результат через $arccosh$ нам мешает $D$ и знак минус, остается только использовать формулу длинного логарифма, но решить через нее у меня не вышло(см. предыдущую страницу)

[EUgeneUS]

Azusa_Nakano
Погуглите ужо вывод цепной линии, говорили же.
Там избавляются от "длинного логарифма", и Вы сможете избавиться.

[Azusa_Nakano]

EUgeneUS в сообщении #1435730 писал(а):

Azusa_Nakano
Погуглите ужо вывод цепной линии, говорили же.
Там избавляются от "длинного логарифма", и Вы сможете избавиться.

Там всё равно $D$ мешает немного...
1)$\ln|y+\sqrt{Dy^2-1}|+C_4=x$
2) Также, как и в выводе цепной функции убираем C_4:
$\ln1=0+C_4$ откуда $C_4=0$
3) Убирая логарифм получим:
$y+\sqrt{Dy^2-1}=e^x$
4) Домножим обе части на $(y-\sqrt{Dy^2-1})$ и получим:
$(y+\sqrt{Dy^2-1})(y-\sqrt{Dy^2-1})=e^x (y-\sqrt{Dy^2-1})$
5) Сократим по формуле:
$y^2-(Dy^2-1)=e^x (y-\sqrt{Dy^2-1})$
6) И тут проблема в том, что в выводе цепной функции нет $D$ и поэтому $y^2$ слева должен сократиться
В моём же случае получается такое:
$-Ey^2+1=e^x (y-\sqrt{Dy^2-1})$
7)$-e^x =\frac{Ey^2+1}{y-\sqrt{Dy^2-1}}$

[Azusa_Nakano]

upd: вспомнил что $D=\frac{1}{C_1}$
Тогда пусть $F^2=\frac{y^2}{C_1}$:
1)$\ln|F+\sqrt{F^2-1}|+C_4=x$
2) Также, как и в выводе цепной функции убираем C_4:
$\ln1=0+C_4$ откуда $C_4=0$
3) Убирая логарифм получим:
$F+\sqrt{F^2-1}=e^x$
4) Домножим обе части на $(D-\sqrt{D^2-1})$ и получим:
$(F+\sqrt{F^2-1})(F-\sqrt{F^2-1})=e^x (F-\sqrt{F^2-1})$
5) Сократим по формуле:
$F^2-(F^2-1)=e^x (F-\sqrt{F^2-1})$
6) $1=e^x (F-\sqrt{F^2-1})$
7) В итоге получим:
$e^{-x} =(F-\sqrt{F^2-1})$
8) Складываем (3) и (7):
$2F=e^{-x} + e^x$
9) Тогда: $F=\frac{e^{-x} + e^x}{2}$
$F=\ch(x)$
10) Используем замену обратно:
$\sqrt{\frac{y^2}{C_1}}=\ch(x)$
11) В итоге получаем:
$y=\ch(x) \sqrt{C_1}$
Проверьте решение пожалуйста. Смущает что в итоге у нас только одна $C_1$ из переменных для исходной задачи:
Найдите экстремали следующих функционалов: $J(y)=\int_{0}^{2}y\sqrt{1+y'^2}dx ; $y(0)=1, y(2)=3$

[EUgeneUS]

Azusa_Nakano в сообщении #1435765 писал(а):

Смущает что в итоге у нас только одна $C_1$ из переменных для исходной задачи:

Правильно смущает. Только $C_1$ не переменная, а постоянная интегрирования.

Во-первых, Вам надо вспомнить, вот это:

Azusa_Nakano в сообщении #1431956 писал(а):

$\frac{1}{1+y'^2}=\frac{C^2}{y^2}$
Отсюда:
$y'^2=\frac{y^2}{C_1}-1$

Заменяя здесь $C^2$ на $C_1$ (а потом $\frac{1}{C_1}$ на $D$), Вы только запутываете себя, чем дальше, тем больше.
Вспомните, что тут:

Azusa_Nakano в сообщении #1435419 писал(а):

$\frac{dy}{\sqrt{Dy^2-1}}=dx$, с условием что $Dy^2\neq 0$

$Dy^2 = \frac{y^2}{C^2}$

Далее сделайте замену $z = \frac{y}{C}$. Вы пытались сделать что-то подобное, но в очередной раз неаккуратно. Не забывайте, что $d y$ также нужно заменить на $d z$ правильным образом.