Экстремали функционала - 2

[Azusa_Nakano]

Добрый день, есть такое задание:

Найдите экстремали следующих функционалов: $J(y)=\int_{0}^{2}y\sqrt{1+y'^2}dx ; $y(0)=1, y(2)=3$
Мои шаги решения:
1) Функция $F=y\sqrt{y'}$ зависит только от $y, y'$ и не зависит от $x$, поэтому интеграл уравнения Эйлера будет выглядеть так:
$F-y'F'_{y'}=C$
2) Найдем производную $F'_{y'}$.
$F'_{y'}=(y\sqrt{1+y'^2})'=y(\sqrt{1+y'^2})'=y\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}$
3) Подставим найденное значение в интеграл уравнения Эйлера(1):
$y\sqrt{1+y'^2}-y'y\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}=C$
4) И вот тут я не знаю как дальше сокращать и вынести $y'$ из под корня, получается только:
$y\sqrt{1+y'^2}-y\frac{y'^2}{\sqrt{1+y'^2}}=C$
Или решением будет поделить обе части на $y$ и интегрировать как есть, т.е.?
$\sqrt{1+y'^2}-\frac{y'^2}{\sqrt{1+y'^2}}=\frac{C}{y}$

-- 25.12.2019, 21:51 --

Попробовал замену $\sqrt{1+y'^2}=t$, тогда $y'=t^2-1$
Получаем: $-\frac{1}{t^2}=\frac{C}{y}$
Так можно вообще делать?

[EUgeneUS]

Приведите к общему знаменателю и вычтите, будет лучше.
И дальше двигайтесь к диффуру с разделяющимися переменными.

-- 25.12.2019, 20:55 --

Azusa_Nakano в сообщении #1431919 писал(а):

Получаем: $-\frac{1}{t^2}=\frac{C}{y}$
Так можно вообще делать?

Так делать нельзя, ибо у Вас опять проблема со знаком.

[Azusa_Nakano]

EUgeneUS в сообщении #1431923 писал(а):

Приведите к общему знаменателю и вычтите, будет лучше

Привел, но тут и вычитать особо нечего и не из чего, даже если скобки раскрыть:
$\frac{y(1+y'^2)-y'^2-C{\sqrt{1+y'^2}}}{y\sqrt{1+y'^2}}=0 $

[EUgeneUS]

Вы издеваетесь?

Вот это возьмите:

Azusa_Nakano в сообщении #1431919 писал(а):

$\sqrt{1+y'^2}-\frac{y'^2}{\sqrt{1+y'^2}}=\frac{C}{y}$

И приведите к общему знаменателю то, что слева.
Аккуратно

[Azusa_Nakano]

$\frac{1}{\sqrt{1+y'^2}}=\frac{C}{y}$
А от корня как избавляться, если домножать то он все равно появится?

[EUgeneUS]

Сейчас-то какие проблемы от корня избавиться?
Можно и в квадрат возвести, знаете ли.

[Lia]

Azusa_Nakano
Замечание за вытягивание решения по действиям.

Голова своя должна быть.

[Azusa_Nakano]

$\frac{1}{1+y'^2}=\frac{C^2}{y^2}$
Отсюда:
$y'^2=\frac{y^2}{C_1}-1$
И тогда:
$\frac{dy}{dx}=\sqrt{\frac{y^2}{C_1}-1}$
$dy=\sqrt{\frac{y^2}{C_1}-1}dx$
Но меня смущает что производная справа получается $dx$, хотя под корнем $y$:

upd: Повторюсь, непонятен именно этот момент: $dy=\sqrt{\frac{y^2}{C_1}-1}dx$, а именно правая часть: по таблице первообразных корень и всё, что под ним можно считать за константу, так как мы интегрируем правую часть по $dx$, а в правой части из переменных только $y$
В итоге часть уравнения справа выглядит как: $\sqrt{\frac{y^2}{C_1}-1}$ (считаем константой и выносим вперед) + $1dx=x+C_3$
Т.е. :$y+C_2=(x+C_3)\sqrt{\frac{y^2}{C_1}-1}$
Максимум, до которого я смог это сократить: $\frac{y}{\sqrt{\frac{y^2}{C_1}-1}}=x+C_4$ где $C_4=C_3-C_2$

upd2: А можно ли не возводить в квадрат?
$\frac{1}{\sqrt{1+y'^2}}=\frac{C}{y}$
То есть привести обе части к общему знаменателю:
$\frac{y}{\sqrt{1+y'^2}}=\frac{C \sqrt{1+y'^2}}{y}$
Отбросить знаменатель, приняв условие что $y\neq0$
Получится:
$y=C\sqrt{1+y^2}$
Сделать замену
$p=\frac{dy}{dx}$
Тогда:
$dy=pdx=C\frac{pdp}{\sqrt{1+p^2}}$
$pdx=C\frac{pdp}{\sqrt{1+p^2}}$
Сокращаем $p$ и интегрируем обе части:
$\int dx = \int C\frac{dp}{\sqrt{1+p^2}}$
Получим:
$x+C_1=С \ln|p+\sqrt{p^2+1}|$
Перенесем $C_1$:
$x=C\ln|p+\sqrt{p^2+1}|-C_1$
И получить ответ в общем виде:
$\begin{cases} x(p)=C\ln|p+\sqrt{p^2+1}|-C_1, \\ y(p)=C\sqrt{1+y^2}. \end{cases}$
(Но я не понял как теперь избавиться от $p$)

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- дорешайте, потом спросите.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Azusa_Nakano
Уберите зачеркивание в первой части поста, нечитабельно. И изложите все так, чтобы можно было понять.

Azusa_Nakano в сообщении #1431956 писал(а):

Получится:
$y=C\sqrt{1+y^2}$

Вот откуда оно получится?

Лучше первый способ реализуйте, он проще. Я очень опасаюсь, что через второй Вы не продеретесь.

[GAA]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

Azusa_Nakano в сообщении #1431956 писал(а):

$dy=\sqrt{\frac{y^2}{C_1}-1}dx$
Но меня смущает

Как Вам и написали выше, это уравнение с разделяющимися переменными. Откройте учебник по Обыкновенным дифференциальным уравнениям и найдите соответствующую тему.

[Azusa_Nakano]

GAA в сообщении #1435401 писал(а):

Как Вам и написали выше, это уравнение с разделяющимися переменными. Откройте учебник по Обыкновенным дифференциальным уравнениям и найдите соответствующую тему.

Нарешал такое:
1) $dy=\sqrt{\frac{y^2}{C_1}-1}dx$
2) заменим для простоты $D=\frac{1}{C_1}$
3) получаем
$dy=\sqrt{Dy^2-1}dx$
4) делим обе части на $\sqrt{Dy^2-1}$
$\frac{dy}{\sqrt{Dy^2-1}}=dx$, с условием что $Dy^2\neq 0$
5) интегрируем обе части:
$\int\frac{dy}{\sqrt{Dy^2-1}}=\int dx$
6) используем табличные интегралы ("длинный" логарифм и интеграл $\int dx$)
$\ln|y+\sqrt{Dy^2-1}|+C_2=x+C_3$
7) обозначим $C_2-C_3=C_4$
$\ln|y+\sqrt{Dy^2-1}|+C_4=x$
Как переписать данное уравнение чтобы выразить $y$ не знаю, но можно попробовать решить и так.
1) Подставим значения $y(x)$ которые были в условии(см. пост 1) и получим систему:
$\begin{cases} \ln|-3+\sqrt{D(-3)^2-1}|+C_4=2, \\ \ln|-1+\sqrt{D(1)^2-1}|+C_4=0. \end{cases}$
2) Вычтем первое из второго:
$\ln|-3+\sqrt{D(-3)^2-1}|-\ln|-1+\sqrt{D(1)^2-1}|=2$
3) Тогда по свойству о разности логарифмов с одинаковым основанием:
$\ln|\frac{-3+\sqrt{D(-3)^2-1}}{-1+\sqrt{D(1)^2-1}}|=2$
4) И получится...
$\frac{-3+\sqrt{D(-3)^2-1}}{-1+\sqrt{D(1)^2-1}}=e^2$
И тут наверное можно выразить $D$, но что-то подсказывает что я делаю что-то не то

[ИСН]

Я не верю, что Вы никогда не слышали о цепной линии. Решение известно 300+ лет. Вот к нему и притягивайте.

[Azusa_Nakano]

ИСН в сообщении #1435427 писал(а):

Я не верю, что Вы никогда не слышали о цепной линии. Решение известно 300+ лет. Вот к нему и притягивайте.

Не слышал про такое.
Я пытаюсь решить его как уравнение с разделяющимися переменными

[Pphantom]

Azusa_Nakano в сообщении #1435477 писал(а):

Не слышал про такое.

Это вам вообще-то фактически ответ написали. Неужели трудно хотя бы погуглить?