2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Экстремали функционала - 2
Сообщение16.01.2020, 22:55 


23/12/19
28
Pphantom в сообщении #1435496 писал(а):
Это вам вообще-то фактически ответ написали. Неужели трудно хотя бы погуглить? :facepalm:

Но у нас ведь в логарифме под корнем помимо $y$ еще и $D$ есть, поэтому я не думаю что она точно также выражается через $arccosh()$

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала - 2
Сообщение16.01.2020, 23:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Не надо думать. Надо выражать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала - 2
Сообщение17.01.2020, 18:06 


23/12/19
28
ИСН в сообщении #1435537 писал(а):
Не надо думать. Надо выражать.

А что с моим решением тогда не так из прошлого поста, в какой строке ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала - 2
Сообщение17.01.2020, 19:51 


23/12/19
28
Потому что вот мы разделяем переменные:
$\int\frac{dy}{\sqrt{Dy^2-1}}=\int dx$
Записать результат через $arccosh$ нам мешает $D$ и знак минус, остается только использовать формулу длинного логарифма, но решить через нее у меня не вышло(см. предыдущую страницу)

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала - 2
Сообщение17.01.2020, 20:14 
Аватара пользователя


11/12/16
14040
уездный город Н
Azusa_Nakano
Погуглите ужо вывод цепной линии, говорили же.
Там избавляются от "длинного логарифма", и Вы сможете избавиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала - 2
Сообщение17.01.2020, 23:06 


23/12/19
28
EUgeneUS в сообщении #1435730 писал(а):
Azusa_Nakano
Погуглите ужо вывод цепной линии, говорили же.
Там избавляются от "длинного логарифма", и Вы сможете избавиться.

Там всё равно $D$ мешает немного...
1)$\ln|y+\sqrt{Dy^2-1}|+C_4=x$
2) Также, как и в выводе цепной функции убираем C_4:
$\ln1=0+C_4$ откуда $C_4=0$
3) Убирая логарифм получим:
$y+\sqrt{Dy^2-1}=e^x$
4) Домножим обе части на $(y-\sqrt{Dy^2-1})$ и получим:
$(y+\sqrt{Dy^2-1})(y-\sqrt{Dy^2-1})=e^x (y-\sqrt{Dy^2-1})$
5) Сократим по формуле:
$y^2-(Dy^2-1)=e^x (y-\sqrt{Dy^2-1})$
6) И тут проблема в том, что в выводе цепной функции нет $D$ и поэтому $y^2$ слева должен сократиться
В моём же случае получается такое:
$-Ey^2+1=e^x (y-\sqrt{Dy^2-1})$
7)$-e^x =\frac{Ey^2+1}{y-\sqrt{Dy^2-1}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала - 2
Сообщение18.01.2020, 00:18 


23/12/19
28
upd: вспомнил что $D=\frac{1}{C_1}$
Тогда пусть $F^2=\frac{y^2}{C_1}$:
1)$\ln|F+\sqrt{F^2-1}|+C_4=x$
2) Также, как и в выводе цепной функции убираем C_4:
$\ln1=0+C_4$ откуда $C_4=0$
3) Убирая логарифм получим:
$F+\sqrt{F^2-1}=e^x$
4) Домножим обе части на $(D-\sqrt{D^2-1})$ и получим:
$(F+\sqrt{F^2-1})(F-\sqrt{F^2-1})=e^x (F-\sqrt{F^2-1})$
5) Сократим по формуле:
$F^2-(F^2-1)=e^x (F-\sqrt{F^2-1})$
6) $1=e^x (F-\sqrt{F^2-1})$
7) В итоге получим:
$e^{-x} =(F-\sqrt{F^2-1})$
8) Складываем (3) и (7):
$2F=e^{-x} + e^x$
9) Тогда: $F=\frac{e^{-x} + e^x}{2}$
$F=\ch(x)$
10) Используем замену обратно:
$\sqrt{\frac{y^2}{C_1}}=\ch(x)$
11) В итоге получаем:
$y=\ch(x) \sqrt{C_1}$
Проверьте решение пожалуйста. Смущает что в итоге у нас только одна $C_1$ из переменных для исходной задачи:
Найдите экстремали следующих функционалов: $J(y)=\int_{0}^{2}y\sqrt{1+y'^2}dx ; $y(0)=1, y(2)=3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала - 2
Сообщение19.01.2020, 14:05 
Аватара пользователя


11/12/16
14040
уездный город Н
Azusa_Nakano в сообщении #1435765 писал(а):
Смущает что в итоге у нас только одна $C_1$ из переменных для исходной задачи:

Правильно смущает. Только $C_1$ не переменная, а постоянная интегрирования.

Во-первых, Вам надо вспомнить, вот это:
Azusa_Nakano в сообщении #1431956 писал(а):
$\frac{1}{1+y'^2}=\frac{C^2}{y^2}$
Отсюда:
$y'^2=\frac{y^2}{C_1}-1$


Заменяя здесь $C^2$ на $C_1$ (а потом $\frac{1}{C_1}$ на $D$), Вы только запутываете себя, чем дальше, тем больше.
Вспомните, что тут:
Azusa_Nakano в сообщении #1435419 писал(а):
$\frac{dy}{\sqrt{Dy^2-1}}=dx$, с условием что $Dy^2\neq 0$


$Dy^2 = \frac{y^2}{C^2}$

Далее сделайте замену $z = \frac{y}{C}$. Вы пытались сделать что-то подобное, но в очередной раз неаккуратно. Не забывайте, что $d y$ также нужно заменить на $d z$ правильным образом.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group