Dan B-Yallay писал(а):
Я таки не понимаю, а зачем мне собственно решать или доказывать существование чего-то такого? Вы "чувствуете" - вам и обосновывать. :D
Это не я утверждал, что все шары будут вынуты. А мои "чувства" - это моё личное дело.
Утверждали.epros писал(а):
Someone писал(а):
А я так "чувствую", что ангел непременно накидает столько, что чёртик рано или поздно не сможет раскидать. Но поскольку Вы конкретно спрашиваете "что именно это будет", то я признаЮ: Да, я не могу конкретно указать "что именно" такого накидает ангел. Но я могу в свою очередь спросить Вас: А почему Вы вдруг решили, что "чего-то такого" в принципе не существует?
Потому что это следует из очень простых рассуждений, если не морочить себе голову нечётными совершенными числами и прочими вещами, о которых в инструкциях наших персонажей ничего не сказано. Им абсолютно наплевать на нечётные совершенные числа. Если таковые есть, то один положит их в "корзину", а другой следом вынет. Если таких чисел нет, то первый не будет их класть, а второй не будет вынимать. При этом ни тому, ни другому совершенно не нужно знать, есть такие числа или нет.
Вы демонстрируете классический пример неконструктивного рассуждения. У Вас нет конкретного примера для того, чтобы использовать его в посылке, но Вы готовы сделать общий вывод. Конечно же, это "очень просто". Примерно так же просто, как из наблюдения нескольких серых кошек сделать общий вывод, что все кошки серые.
Ещё раз. Рассмотрим любое натуральное число
. Это число будет удалено из множества Литлвуда на шаге
и более никогда в этом множестве не появится. Следовательно, в результирующем множестве этого числа не будет. Поскольку
- любое натуральное число, то в множестве не будет ни одного натурального числа, а так как ничего другого в нём нет, то оно является пустым.
Задача формулировалась Литлвудом в рамках теории множеств. Его построение
формализуется в виде индуктивного построения, которое делает всё рассуждение конечным. С точки зрения конструктивной математики это всё "неконструктивно", но такие претензии вздорны. Они имели бы смысл, если бы задача формулировалась в рамках конструктивной математики, но этого никто не делает.
epros писал(а):
Someone писал(а):
Я уже один раз говорил и ещё раз повторю: то, что возможен конструктивный математический анализ, не имеет ни малейшего отношения к полезности классического математического анализа. А классический математический анализ без аксиомы бесконечности не существует.
А я готов ещё раз повторить, что конструктивный матанализ ничуть не хуже классического, хотя он и не использует аксиому бесконечности.
Напомню, что вопрос был следующий:
Вы отрицаете полезность математического анализа и основанных на нём областей математики?
Вы считаете, что Ваше
конструктивный матанализ ничуть не хуже классического
является ответом на мой вопрос?
epros писал(а):
Как, думаете, проверяется конструктивность аксиомы? Нужно просто предложить процедуру её проверки на неких модельных объектах. Например, хотите я продемонстрирую процедуру проверки аксиомы пустого множества на примере традиционной записи множеств: разделённого запятыми списка символов, заключённого в фигурные скобки?
Для аксиомы бесконечности таковой процедуры построить пока никому не удалось. Точнее, всё, что удаётся построить, оказывается без точки останова.
А что, кто-нибудь пытался? Ссылочку, пожалуйста, предъявите.
Вообще, я не понимаю, какое отношение имеет конструктивизм к теории множеств?
epros писал(а):
Someone писал(а):
Разумеется, множества в конструктивной математике трактуются не так, как в теории множеств.
Разумеется, совершенно не так. Без аксиомы бесконечности несомненно существующими оказываются только конечные множества, так что от всей теории множеств остаётся только самая тривиальная часть.
Ну не скажите. Теория ZF, в которой аксиома бесконечности заменена её отрицанием, эквивалентна арифметике Пеано. Называть арифметику Пеано тривиальной несколько рискованно.
epros писал(а):
Someone писал(а):
"Множество конструктивных действительных чисел несчётно" - это абсолютно некорректное утверждение.
А я его не формулировал. У меня написано так:
множество конструктивных действительных чисел эффективно несчётно (в смысле конструктивной математики).
Сравните с цитатой из книги Б.А.Кушнера.
Я не подвергаю сомнению то, что написано у Кушнера. Просто нужно понимать, что то, что названо "эффективной несчётностью", да ещё с уточнением "в смысле конструктивной математики", весьма далеко от классического (Канторовского) понятия о несчётности.
Видите ли, я сформулировал утверждение достаточно точно: сказал не о "несчётности", а об "эффективной несчётности", да ещё сославшись при этом на особое понимание всего этого в конструктивной математике. Вы же мою цитату переврали, скорее всего, считая, что я именно эту глупость и имел в виду. Поправка же Ваша появилась только после предъявления цитаты из книги Б.А.Кушнера, и при этом Вы начали обвинять в путанице меня.
И если, по Вашему мнению, множество КДЧ конечно, то о какой эффективной несчётности говорит Б.А.Кушнер?
epros писал(а):
Ни о каких "различных кардинальностях" здесь речь даже близко не идёт. На самом деле речь идёт о вполне тривиальном и малоинтересном для конструктивного анализа выводе, который совершенно незаслуженно поднимается в качестве "знамени" теми, кто берётся интерпретировать конструктивизм с точки зрения классической теории множеств. Ох, как же он страдает от таких интерпретаций...
Всё ясно. Б.А.Кушнер - вражеский агент в стане конструктивистов.
epros писал(а):
Логика такова: раз нет несчётности, то давайте найдём что-то хотя бы отдалённо похожее и назовём это "эффективной несчётностью" - просто чтобы все успокоились, ибо никаких полезных выводов из этого свойства всё равно не следует.
А зачем? Ну, вот я - типичный представитель классической математики. Какое мне дело до того, что там у конструктивистов с множествами? Да пусть у них вообще никаких множеств не будет. Мне совершенно без разницы, есть там у них бесконечные или несчётные множества или нет их. Я об этом прочитал и подумал про себя: "Занятно". Вы думаете, что я им завидую? Мне немного любопытно, чем они там занимаются, и не более того.
Дальше у Вас пошла уже совсем какая-то ерунда, комментировать не буду.
Добавлено спустя 15 минут 10 секунд:epros писал(а):
А.Связной писал(а):
Давно уже конструктивисты говорили о неправомерности распространения двузначной логики за бесконечность, а потому и не принимали аксиому бесконечности и вообще понятие актуальной бесконечности.
Логика у конструктивистов не "двузначная".
Совершенная чушь. Вы попросту не знаете и не понимаете того, что пытаетесь здесь отстаивать и пропагандировать. Логика у конструктивистов отличается от классической, аристотелевой логики, но, тем не менее, является такой же двузначной: всякое высказывание либо истинно, либо ложно. Основное отличие от классической логики состоит в том, что в классической логике обязательно истинно в точности одно из двух высказываний
и
(закон исключённого третьего), в то время как в конструктивистской логике оба этих высказывания могут оказаться ложными, а высказывание
может не совпадать с
(но
). Есть также некоторые другие отличия.
P.S. Обращаю внимание всех спорщиков на то, что задача ставилась Литлвудом в рамках теории множеств, поэтому она (задача) должна обсуждаться также в рамках теории множеств. Обсуждение её с точки зрения конструктивной математики, интуиционизма, физики или чего-либо ещё, не являющегося теорией множеств, не имеет смысла. Также не имеет смысла менять условия задачи и потом предъявлять претензии по поводу того, что результат изменился.