Топологическое ли пространство с R\Q

[_DimONN_]

Является ли пара $( \mathbb{R}, \mathbb{\tau})$ топологическим пространством если $\mathbb{\tau} = \left\lbrace \varnothing, \mathbb{R}, (-q, q ], q \in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}, q > 0 \right\rbrace $.

C $\bigcap\limits_{}^{}$ понятно - берем $q_m_i_n$ . А с $\bigcup\limits_{}^{}$ как быть, если, например, $q_1= (1+\frac{1}{n})^n$ и $q_2= (1+\frac{1}{n+1})^n$, где $n\to\infty$? Тогда левый конец отрезка стремится к $(-e$, а правый к $e]$. Может правый конец отрезка стремиться к $e$ включительно?

Спасибо!

[mihaild]

_DimONN_ в сообщении #1435302 писал(а):

$q_1= (1+\frac{1}{n})^n$ и $q_2= (1+\frac{1}{n+1})^n$, где $n\to\infty$?

Что такое $q_1$ и $q_2$, и зачем они вам дальше нужны?

_DimONN_ в сообщении #1435302 писал(а):

Может правый конец отрезка стремиться к $e$ включительно?

Что значит "стремиться включительно"?

У вас вроде бы правильная идея, теперь её надо довести до ума. Вы используете, что объединение семейства открытых множеств открыто. Напишите явно, какое семейство вы хотите объединить, и чему равно получившееся объединение.

[_DimONN_]

mihaild в сообщении #1435305 писал(а):

что объединение семейства открытых множеств открыто

То есть: $\bigcup\limits_{n\to\infty, m\in\mathbb{N}} (- (1+\frac{1}{n+m})^n , (1+\frac{1}{n+m})^n ] = (-e, e)? $ И, соответственно, пара $( \mathbb{R}, \mathbb{\tau})$ не является топологическим пространством. Правый конец каждого отрезка включает $ e $, или?

[mihaild]

_DimONN_ в сообщении #1435312 писал(а):

$\bigcup\limits_{n\to\infty, m\in\mathbb{N}} (- (1+\frac{1}{n+m})^n , (1+\frac{1}{n+m})^n ] = (-e, e)? $

Что такое $$\bigcup\limits_{n\to\infty, m\in\mathbb{N}}$? Никакие пределы по $n$ вам не нужны, просто объединение отрезков.

_DimONN_ в сообщении #1435312 писал(а):

Правый конец каждого отрезка включает $ e $, или?

Какого "каждого"?

И кстати отрезки у вас с иррациональными концами, а не с рациональными.

[_DimONN_]

mihaild в сообщении #1435316 писал(а):

отрезки у вас с иррациональными концами

$n\to\infty$ для того, чтобы показать, что концы отрезка иррациональны, а $ m\in\mathbb{N} $ для того, чтобы показать, что таких отрезков у нас бесконечное количество. Может быть мы не вправе ставить справа значок "включительно" для каждого такого отрезка? Как тогда быть с условием задачи, где $(-q, q]$ и $q\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$ ?

Или почему мы от объединения переходим к лимиту?

[mihaild]

_DimONN_ в сообщении #1435318 писал(а):

$n\to\infty$ для того, чтобы показать, что концы отрезка иррациональны

Какого отрезка? Что "показать"? Что вообще означает знак предела под $\cup$?
У вас есть некоторое множество отрезков, и интересно, что бывает, если взять объединение некоторых отрезков из этого множества. Откуда тут вообще пределы взялись?

[_DimONN_]

То, что в моем понимании укладывается, например: $\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}^{} (-\infty, -\frac{1}{n}] = (-\infty, 0) $, потому что $\lim\limits_{n\to\infty}^{} -\frac{1}{n} = 0$. Поэтому я смотрю к каким пределам стремятся концы отрезка $(-q,q]$.

[mihaild]

_DimONN_ в сообщении #1435323 писал(а):

$\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}^{} (-\infty, -\frac{1}{n}] = (-\infty, 0) $

Это, безусловно, правда.

Вам, по сути, нужно проверить, является ли объединение семейства множеств вида $(-q, q]$ множеством такого же вида.

[_DimONN_]

mihaild в сообщении #1435327 писал(а):

Вам, по сути, нужно проверить, является ли объединение семейства множеств вида $(-q, q]$ множеством такого же вида.

Можно ли утверждать, что множество вида $(-q,q]$ открыто, потому что q - иррационально?

[mihaild]

_DimONN_ в сообщении #1435328 писал(а):

Можно ли утверждать, что множество вида $(-q,q]$ открыто, потому что q - иррационально?

Так, а напишите, пожалуйста, определение топологии, и явно выпишите, что, по вашему мнению, от вас хотят в задаче.

[_DimONN_]

mihaild в сообщении #1435329 писал(а):

Так, а напишите, пожалуйста, определение топологии, и явно выпишите, что, по вашему мнению, от вас хотят в задаче.

Аксиомы топологии:
1) пустое множество и множество X принадлежат топологии;
2) объединение любой совокупности множеств из топологии содержится в топологии;
3) пересечение любых двух множеств из топологии принадлежит топологии.

Пункты 1) и 3) понятны. Пункт 2) неясен: что будет если объединять множества вида $(-q,q]$, где q иррационально и больше нуля. Пока выходит , что будет множество вида (-q,q). Что собственно мне и неясно почему.

[mihaild]

_DimONN_ в сообщении #1435331 писал(а):

Пока выходит , что будет множество вида (-q,q)

Не совсем так. Надо точнее: верно ли, что, объединяя полуинтервалы с иррациональными концами, мы всегда получим полуинтервал с иррациональными концами?
(понятно что как минимум иногда получим: например если объединяем два таких полуинтервала; вопрос в том, всегда ли получим)

[_DimONN_]

mihaild в сообщении #1435344 писал(а):

объединяя полуинтервалы с иррациональными концами,

Получим полуинтервал с иррациональными концами при условии, что:
1) у полуинтервалов есть хоть одна общая точка,
2) полуинтервалы открыты и закрыты с одних и тех же сторон каждый.
Это необходимо доказывать?

[mihaild]

_DimONN_ в сообщении #1435359 писал(а):

Это необходимо доказывать?

Ну если у вас получится это доказать - то что еще останется чтобы решить задачу?

(Оффтоп)

Только доказать это у вас не получится, потому что это неправда.

[_DimONN_]

mihaild в сообщении #1435327 писал(а):

ужно проверить, является ли объединение семейства множеств вида $(-q, q]$ множеством такого же вида

Подскажите, пожалуйста, с чего начать.