2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Топологическое ли пространство с R\Q
Сообщение15.01.2020, 14:21 
Аватара пользователя


02/04/18
55
Является ли пара $( \mathbb{R}, \mathbb{\tau})$ топологическим пространством если $\mathbb{\tau} = \left\lbrace \varnothing, \mathbb{R}, (-q, q ], q \in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}, q > 0 \right\rbrace $.

C $\bigcap\limits_{}^{}$ понятно - берем $q_m_i_n$ . А с $\bigcup\limits_{}^{}$ как быть, если, например, $q_1= (1+\frac{1}{n})^n$ и $q_2= (1+\frac{1}{n+1})^n$, где $n\to\infty$? Тогда левый конец отрезка стремится к $(-e$, а правый к $e]$. Может правый конец отрезка стремиться к $e$ включительно?

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Топологическое ли пространство с R\Q
Сообщение15.01.2020, 14:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
_DimONN_ в сообщении #1435302 писал(а):
$q_1= (1+\frac{1}{n})^n$ и $q_2= (1+\frac{1}{n+1})^n$, где $n\to\infty$?
Что такое $q_1$ и $q_2$, и зачем они вам дальше нужны?
_DimONN_ в сообщении #1435302 писал(а):
Может правый конец отрезка стремиться к $e$ включительно?
Что значит "стремиться включительно"?

У вас вроде бы правильная идея, теперь её надо довести до ума. Вы используете, что объединение семейства открытых множеств открыто. Напишите явно, какое семейство вы хотите объединить, и чему равно получившееся объединение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топологическое ли пространство с R\Q
Сообщение15.01.2020, 15:00 
Аватара пользователя


02/04/18
55
mihaild в сообщении #1435305 писал(а):
что объединение семейства открытых множеств открыто


То есть: $\bigcup\limits_{n\to\infty, m\in\mathbb{N}} (- (1+\frac{1}{n+m})^n , (1+\frac{1}{n+m})^n ] = (-e, e)? $ И, соответственно, пара $( \mathbb{R}, \mathbb{\tau})$ не является топологическим пространством. Правый конец каждого отрезка включает $ e $, или?

 Профиль  
                  
 
 Re: Топологическое ли пространство с R\Q
Сообщение15.01.2020, 15:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
_DimONN_ в сообщении #1435312 писал(а):
$\bigcup\limits_{n\to\infty, m\in\mathbb{N}} (- (1+\frac{1}{n+m})^n , (1+\frac{1}{n+m})^n ] = (-e, e)? $
Что такое $$\bigcup\limits_{n\to\infty, m\in\mathbb{N}}$? Никакие пределы по $n$ вам не нужны, просто объединение отрезков.

_DimONN_ в сообщении #1435312 писал(а):
Правый конец каждого отрезка включает $ e $, или?
Какого "каждого"?

И кстати отрезки у вас с иррациональными концами, а не с рациональными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топологическое ли пространство с R\Q
Сообщение15.01.2020, 15:39 
Аватара пользователя


02/04/18
55
mihaild в сообщении #1435316 писал(а):
отрезки у вас с иррациональными концами


$n\to\infty$ для того, чтобы показать, что концы отрезка иррациональны, а $ m\in\mathbb{N} $ для того, чтобы показать, что таких отрезков у нас бесконечное количество. Может быть мы не вправе ставить справа значок "включительно" для каждого такого отрезка? Как тогда быть с условием задачи, где $(-q, q]$ и $q\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$ ?

Или почему мы от объединения переходим к лимиту? :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Топологическое ли пространство с R\Q
Сообщение15.01.2020, 15:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
_DimONN_ в сообщении #1435318 писал(а):
$n\to\infty$ для того, чтобы показать, что концы отрезка иррациональны
Какого отрезка? Что "показать"? Что вообще означает знак предела под $\cup$?
У вас есть некоторое множество отрезков, и интересно, что бывает, если взять объединение некоторых отрезков из этого множества. Откуда тут вообще пределы взялись?

 Профиль  
                  
 
 Re: Топологическое ли пространство с R\Q
Сообщение15.01.2020, 16:08 
Аватара пользователя


02/04/18
55
То, что в моем понимании укладывается, например: $\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}^{} (-\infty, -\frac{1}{n}] = (-\infty, 0) $, потому что $\lim\limits_{n\to\infty}^{} -\frac{1}{n} = 0$. Поэтому я смотрю к каким пределам стремятся концы отрезка $(-q,q]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топологическое ли пространство с R\Q
Сообщение15.01.2020, 16:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
_DimONN_ в сообщении #1435323 писал(а):
$\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}^{} (-\infty, -\frac{1}{n}] = (-\infty, 0) $
Это, безусловно, правда.

Вам, по сути, нужно проверить, является ли объединение семейства множеств вида $(-q, q]$ множеством такого же вида.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топологическое ли пространство с R\Q
Сообщение15.01.2020, 16:33 
Аватара пользователя


02/04/18
55
mihaild в сообщении #1435327 писал(а):
Вам, по сути, нужно проверить, является ли объединение семейства множеств вида $(-q, q]$ множеством такого же вида.


Можно ли утверждать, что множество вида $(-q,q]$ открыто, потому что q - иррационально?

 Профиль  
                  
 
 Re: Топологическое ли пространство с R\Q
Сообщение15.01.2020, 16:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
_DimONN_ в сообщении #1435328 писал(а):
Можно ли утверждать, что множество вида $(-q,q]$ открыто, потому что q - иррационально?
Так, а напишите, пожалуйста, определение топологии, и явно выпишите, что, по вашему мнению, от вас хотят в задаче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топологическое ли пространство с R\Q
Сообщение15.01.2020, 16:54 
Аватара пользователя


02/04/18
55
mihaild в сообщении #1435329 писал(а):
Так, а напишите, пожалуйста, определение топологии, и явно выпишите, что, по вашему мнению, от вас хотят в задаче.

Аксиомы топологии:
1) пустое множество и множество X принадлежат топологии;
2) объединение любой совокупности множеств из топологии содержится в топологии;
3) пересечение любых двух множеств из топологии принадлежит топологии.

Пункты 1) и 3) понятны. Пункт 2) неясен: что будет если объединять множества вида $(-q,q]$, где q иррационально и больше нуля. Пока выходит :shock: , что будет множество вида (-q,q). Что собственно мне и неясно :oops: почему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топологическое ли пространство с R\Q
Сообщение15.01.2020, 17:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
_DimONN_ в сообщении #1435331 писал(а):
Пока выходит :shock: , что будет множество вида (-q,q)
Не совсем так. Надо точнее: верно ли, что, объединяя полуинтервалы с иррациональными концами, мы всегда получим полуинтервал с иррациональными концами?
(понятно что как минимум иногда получим: например если объединяем два таких полуинтервала; вопрос в том, всегда ли получим)

 Профиль  
                  
 
 Re: Топологическое ли пространство с R\Q
Сообщение15.01.2020, 18:54 
Аватара пользователя


02/04/18
55
mihaild в сообщении #1435344 писал(а):
объединяя полуинтервалы с иррациональными концами,

Получим полуинтервал с иррациональными концами при условии, что:
1) у полуинтервалов есть хоть одна общая точка,
2) полуинтервалы открыты и закрыты с одних и тех же сторон каждый.
Это необходимо доказывать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Топологическое ли пространство с R\Q
Сообщение15.01.2020, 19:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
_DimONN_ в сообщении #1435359 писал(а):
Это необходимо доказывать?
Ну если у вас получится это доказать - то что еще останется чтобы решить задачу?

(Оффтоп)

Только доказать это у вас не получится, потому что это неправда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топологическое ли пространство с R\Q
Сообщение16.01.2020, 11:07 
Аватара пользователя


02/04/18
55
mihaild в сообщении #1435327 писал(а):
ужно проверить, является ли объединение семейства множеств вида $(-q, q]$ множеством такого же вида
Подскажите, пожалуйста, с чего начать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group