Топологическое ли пространство с R\Q

[mihaild]

_DimONN_ в сообщении #1435440 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, с чего начать.

Ну вы же уже почти всё нужное заметили.
Из двух наших полуинтервалов один всегда вложен в другой. Давайте я еще подскажу, что достаточно рассмотреть последовательности интервалов (а нужды в произвольных семействах нет). Последовательность интервалов либо конечная, либо бесконечная. По предыдущему замечанию достаточно рассматривать возрастающие последовательности интервалов. Они очень хорошо разбиваются на три группы: конечные, и еще две, в зависимости от сходимости последовательности правых границ. Проверьте оба варианта.

[_DimONN_]

Я нашел пример последовательности q, которое иррационально и будет сходиться к иррациональному числу.
Берем последовательность $\sqrt{2}-\frac{1}{n}$, где $n \to \infty$ . Такая последовательность стремится к $\sqrt{2}$ (*).
Теперь найдем $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n}-\sqrt{2},\sqrt{2}-\frac{1}{n}]$, то есть объединение отрезков вида $(-q,q]$.
Результатом будет интервал $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$. Правый конец полуинтервала просчитывается по правилу (*). Следовательно, вид отрезка будет $(-q,q)$.

Такой пример подходит в качестве доказательства?

[mihaild]

_DimONN_ в сообщении #1435528 писал(а):

Следовательно, вид отрезка будет $(-q,q)$.

Так писать не очень хорошо - множество может иметь сразу много видов, плюс $(-q, q)$ это вообще не отрезок.
Но да, вы получили что объединение некоторого семейства множеств из указанного множестве $\tau$ не принадлежит $\tau$. Значит $\tau$ не является топологией.

[_DimONN_]

Спасибо за помощь!