Поворот сферы между двумя точками

[george66]

А есть ли удобный способ задавать точку трёхмерной сферы (кватернион нормы единица) тремя углами аналогично долготе и широте на обычной сфере? Я посмотрел про углы Эйлера, но не понял, хорошо ли это.

[Утундрий]

Ну, предположим,

$$\left( {\begin{array}{*{20}c} {\cos \alpha } \\ {\sin \alpha \cos \beta } \\ {\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma } \\ {\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma } \\ \end{array} } \right)$$

[arseniiv]

Да, это $n$-сферическая система координат в общем случае (кем-то называемая «гипер»сферической, брр).

Но по-моему задание углами это шаг в сторону, если не назад.

[Утундрий]

Если нужно считать, без каких-то координат всё равно не обойтись.

(Оффтоп)

Чтобы запомнить расстановку, я использую фразу "Неизбежность синуса".

[Munin]

arseniiv в сообщении #1434491 писал(а):

Но по-моему задание углами это шаг в сторону, если не назад. :?

Иногда удобно.

[george66]

Тут дело ещё в том, что прямая в трёхмерном проективном (или эллиптическом) пространстве задаётся двумя трёхмерными векторами длины единица (то есть, двумя точками на обычной сфере). Для этого надо взять сумму и разность двух векторов, известных как "координаты Плюккера". Эти трёхмерные вектора мало наглядны (трудно понять, как они связаны с прямой), но очень удобны для вычислений. В частности, движения эллиптического пространства (трёхмерной сферы, по сути), переводящие одну прямую в другую, сводятся к поворотам обычной сферы, переводящим эти трёхмерные векторы друг в друга. Далее, пиша программу, я сразу решил задавать эти трёхмерные векторы углами (широта и долгота для каждого из двух векторов), потому что так получается четыре числа, а раньше было шесть. И теперь оказывается, что я правильно сделал, потому что и математически всё лучше работает с углами (можно непрерывно находить поворот, переводящий одну прямую в другую).
А вот точки и плоскости задаются четвёрками проективных координат (которые удобно считать кватернионами нормы единица). И вот их тоже надо как-нибудь улучшить!

[arseniiv]

Утундрий в сообщении #1434494 писал(а):

Если нужно считать, без каких-то координат всё равно не обойтись.

Ну декартовых например. Они ведут себя часто лучше, а если вдруг слезли со сферы, их всегда можно туда пригнать. Кстати тем же кватернионы как описание вращений численно лучше матриц — тоже легко пригнать к единичности, если вдруг. (Ну, не только этим.)

george66 в сообщении #1434580 писал(а):

Эти трёхмерные вектора мало наглядны (трудно понять, как они связаны с прямой), но очень удобны для вычислений

А почему не брать сразу шесть координат бивектора? (Пользы от представления двумя трёхмерными векторами это конечно не уменьшает.)

george66 в сообщении #1434580 писал(а):

И теперь оказывается, что я правильно сделал, потому что и математически всё лучше работает с углами (можно непрерывно находить поворот, переводящий одну прямую в другую).

Так погодите, от углов-то польза только когда северный полюс в одной из точек, как я понял? Какая от них польза, если система координат зафиксирована заранее независимо от точек?

[george66]

arseniiv в сообщении #1434603 писал(а):

Так погодите, от углов-то польза только когда северный полюс в одной из точек, как я понял? Какая от них польза, если система координат зафиксирована заранее независимо от точек?

Допустим, я хочу нарисовать прямую с векторами $u,v$. На картинке она имеет вид окружности или полуокружности. Я рисую "стандартную прямую", например единичную окружность в плоскости $x0y$, у неё вектора $(0,0,1), (0,0,-1)$. Затем подбираю повороты обычной сферы, переводящие $(0,0,1)$ в $u$, а $(0,0,-1)$ в $v$. И все точки стандартной окружности умножаю на соответствующие кватернионы (повороты), один слева, другой справа. Так вычисляются точки прямой с векторами $u,v$. И если зависимость не непрерывная, иногда возникают скачки (меняем параметры прямой, вдруг бац - узор перевернулся).

[arseniiv]

Ориентация узора ведь задаётся не только прямой самой по себе? Тогда я не вижу всё-таки более естественных решений, чем подбирать ориентацию для новой прямой так, чтобы что-то там было ближе к чему-то там для ориентации для старой прямой, чем при обратной ориентации новой прямой.

[george66]

Да-да, это я уже схитрил:) Вообще, узнал много нового о кватернионах, спинорах, расслоении Хопфа и т.п. А я математический логик! Почему я должен сам в этом разбираться? Почему уже не разобрали без меня и не написали понятную книжку?

[arseniiv]

Ну вон что-то там с «geometric algebra» пилят всякое даже как раз в первую очередь вычислительное, но я туда не погружался. Там хайпа многовато, а в остатке-то это вещественные алгебры Клиффорда плюс несколько их преобразований (проективизация и та вторая штука, погружающая в нулевой конус… а, конформизация); ну и некоторый опыт того, как сделать это всё feasible в вычислениях (чтобы не таскать по $2^{\dim V}$ координат как в наивном подходе и т. п.).

[Munin]

george66 в сообщении #1434615 писал(а):

Почему уже не разобрали без меня и не написали понятную книжку?

Отнюдь не уверен, но может быть, что-то из этого подойдёт? Если да, напишите свои отзывы.
Арнольд В.И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов.
Артин. Геометрическая алгебра.
Конвей, Смит. О кватернионах и октавах, об их геометрии, арифметике и симметриях.
Кокстер. Введение в геометрию.
Гельфанд, Минлос, Шапиро. Представления группы вращений и группы Лоренца, их применения.
Широков. Алгебры Клиффорда и спиноры. (?)
Александров. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры.
Ефимов. Высшая геометрия.
Кострикин, Манин. Линейная алгебра и геометрия.

[george66]

Лучшая с большим отрывом книга Pertti Lounesto "Clifford Algebras and Spinors". Книга Широкова интересная, но он изучает сами спиноры (их математические свойства), а не приложения.

[Munin]

Спасибо. Её у меня не было пока.
Алгебры Клиффорда я собираюсь послушать по спецкурсу Н.Вавилова в СПбГУ на YouTube. Но это тоже скорее определения, чем вычислительные методы.

-- 12.01.2020 19:13:16 --

Кстати, тот же Lounesto написал Clifford Algebras with Numeric and Symbolic Computations :-)

[Munin]

А, нет, была, просто не заметил.