Геометрическая интерпретация внешнего дифференциала d

[Munin]

Довольно широко известна наглядная геометрическая интерпретация внешних и дифференциальных форм. Для этого в пространстве рисуют структуру типа параллельных плоскостей и ячеек. Для внешней формы это будет система равноотстоящих плоскостей. Для дифференциальной формы (в каждой точке $x$ многообразия являющейся внешней формой в касательном пространстве) - можно нарисовать аналогичную картинку "маленькую" в малой области - так что в других точках плоскости и ячейки расположены иначе. Иногда плоскости на рисунках плавно объединяют в искривлённые поверхности - аналогично тому, как при изображении векторного поля, векторы объединяют в искривлённые линии поля (интегральные кривые).

Эта картина наглядна, но возникает вопрос, как в ней выглядят основные операции с формами. Более-менее понятно, как интерпретируется внешнее произведение, сужение на подмногообразие, свёртка (внутреннее произведение) 1-формы с вектором. Однако уже сложнее представить свёртку $m$-формы с $n$-вектором. Я не видел объяснений, как выглядит внутреннее произведение $m$-формы и $n$-формы (при наличии евклидовой метрики), переход от $n$-формы к сопряжённому (двойственному) $n$-вектору и обратно, сопряжение Ходжа.

Я попытался представить, как можно понять операцию внешнего дифференциала $d$ (разумеется, дальше обсуждаются только дифференциальные формы). Обычно рассказывают, как наглядно понимать дифференциал порядка 1, превращающий 0-форму в 1-форму: это переход от скалярной функции $f$ к её "линиям (поверхностям) равного уровня" $f=\mathrm{const}.$ Картина таких уровней, взятая локально, как раз даёт искомую 1-форму $df.$ Но как ведёт себя $d$ для форм высших порядков, нигде не написано (или я не видел).

Представим себе дифференциальную $n$-форму $\varphi$ и картину, в которой ячейки в соседних точках объединены в плавно меняющиеся искривлённые листы и трубки. (Допустим, что это возможно; хотя я понимаю, что это возможно далеко не всегда.) Тогда можно взять два соседних листа, или одну такую трубку, и рассмотреть её как некоторое ("интегральное") подмногообразие, и скалярную функцию $f$ на этом подмногообразии. Какую функцию? В качестве значений возьмём "расстояние между листами по форме", или "сечение трубки", рассчитанное по данной форме. То есть, свёртку $\varphi$ с нормальным ей поливектором, или если хотите, интеграл по поперечному сечению такой трубки. Тогда переход $\varphi\to d\varphi$ будет аналогичен $f\to df$: функция $f$ скалярна, и для неё можно построить картину линий равного уровня. Эта картина будет задана на "интегральном" подмногообразии, и даст новые $(n+1)$-ые "стенки ячеек", которые надо объединить с уже существующими "стенками ячеек" формы $\varphi.$

В этой картине мне нравится, что очевидным образом выполняется $dd=0.$ Действительно, если некая форма построена как дифференциал другой формы, то её "листы" находятся на "постоянном расстоянии", или "трубки имеют постоянное сечение (по форме)". Тогда функция $f$ будет просто константой, и её дифференциал равен нулю.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1432300 писал(а):

Но как ведёт себя $d$ для форм высших порядков, нигде не написано (или я не видел).

А как же теорема Стокса (обобщённая)? Интеграл дифференциала формы по маленькой поверхности равен интегралу самой формы по границе. И:

• Интеграл 1-формы $d\omega$ по отрезку кривой $\gamma$ равен интегралу 0-формы $\omega$ по её концам, $\omega|^{\gamma(1)}_{\gamma(0)}$, так что выбирая маленькие отрезочки в окрестностях некоторой точки, мы можем оценить величину и направление $d\omega$ в ней.

• Интеграл 2-формы $d\omega$ по площадке $\sigma$ равен интегралу 1-формы $\omega$ по её краю $\partial\sigma$. Понаставив маленьких площадок около точки, опять же мы можем оценить $d\omega$ там, а вот теперь надо попробовать визуализировать это, потому что по сравнению с предыдущим случаем это мне уже не так очевидно. Чем больше $\omega$ наматывает на границе, тем больше $d\omega$. Вот он нам ротор, впрочем кто бы сомневался, это же 2-форма, и алгебраически мы и так уже знаем, что это соответствует ротору, хотя я лично не запоминал это как следует и забыл.

• Интеграл 3-формы $d\omega$ по телу $\alpha$ равен интегралу 2-формы $\omega$ по его поверхности $\partial\alpha$. Чем больше $\omega$ крутит на этой поверхности, тем больше $d\omega$. В трёхмерии мы конечно уже оставили её без всякого направления, только плюс-минус, а например в четырёхмерии надо ещё сообразить, как будет это направление соотноситься с этим всем для интуиции, хм.

Это бы ещё с ходжением связать… Ну точнее вы про это тоже спрашиваете. Частичный ответ — посмотреть картинки в книжках того же Бёрке, которого вы мне как-то сами кстати посоветовали изначально, если я помню правильно. Там где-то в одной из физических были картинки для электромагнетизма, как раз и про дифференциал тоже. Вывести это вроде легко выводится, но я как-то сел давно сам и после сравнения увидел, что нарисовал не то. Дифференциал по-моему в этом помогает, я в тот раз про него не думал (а как можно?..).

-- Сб дек 28, 2019 00:17:55 --

Кстати те мультиграфоподобные структуры, на которых можно определить аналогичные формы (и где теорема Стокса уже важна как определение каждой следующей по предыдущей) — это ведь вроде (абстрактные) клеточные комплексы? На них формы удобнее представлять, потому что не нужны никакие предельные переходы и можно даже трёхмерные рисунки делать достаточно вменяемыми.

-- Сб дек 28, 2019 00:47:08 --

arseniiv в сообщении #1432325 писал(а):

В трёхмерии мы конечно уже оставили её без всякого направления, только плюс-минус

Ой, я тут по-моему как раз ошибку путаницы формы и псевдоформы совершаю?

[Munin]

arseniiv в сообщении #1432325 писал(а):

А как же теорема Стокса (обобщённая)?

Я говорю именно про графическую интерпретацию.

arseniiv в сообщении #1432325 писал(а):

Кстати те мультиграфоподобные структуры, на которых можно определить аналогичные формы (и где теорема Стокса уже важна как определение каждой следующей по предыдущей) — это ведь вроде (абстрактные) клеточные комплексы? На них формы удобнее представлять, потому что не нужны никакие предельные переходы и можно даже трёхмерные рисунки делать достаточно вменяемыми.

Да, клеточные комплексы. И можно даже для простоты взять симплициальные комплексы. Теория симплициальных комплексов хорошо изложена в

Прасолов. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии.

в § 8 в третьей главе. А там же в § 9 - и клеточные ($CW$-комплексы). Очень рекомендую. Именно оттуда идея, что "интеграл есть скалярное произведение коцепи на цепь".

arseniiv в сообщении #1432325 писал(а):

Ой, я тут по-моему как раз ошибку путаницы формы и псевдоформы совершаю?

Вот я недавно рванулся добить знаки в этом месте, но снова увяз.

[arseniiv]

Спасибо, почитаю.

Munin в сообщении #1432335 писал(а):

Вот я недавно рванулся добить знаки в этом месте, но снова увяз.

Тут по идее два вопроса: как ориентирована форма и как ориентирована штука, при интегрировании они умножаются, и «сохраняются» если теперь перейти ко второму интегралу в теореме Стокса чтобы понять ориентацию второй формы, которая степенью выше. Только я не понял: в случае 0→1 у нас ориентированные две точки, а в случае 1→2 вроде неориентированный контур, иначе как же получится «вращающая» 2-форма? (или и правильно, нечего мне её путать с тем как дела у бивекторов).

Munin в сообщении #1432335 писал(а):

Я говорю именно про графическую интерпретацию.

Вот Стокс нам и поможет тоже.

[Munin]

В случае $1\to 2$ тоже ориентированный контур, они там во всех порядках ориентированные.

[arseniiv]

Корявое рисование в пайнте:

Жирные плюсы обозначают значения интеграла по маленьким кусочкам. Я так подумал, что и контур, и площадка ориентированы, ведь интеграл даёт нам скаляр. Так мы получаем некоторое представление о 2-форме, ну вы уже описали её и я уже где-то видел, всё вроде так.

Munin в сообщении #1432348 писал(а):

В случае $1\to 2$ тоже ориентированный контур, они там во всех порядках ориентированные.

Во, параллельно пришёл к тому же. А то нелепица выходила какая-то.

[Munin]

Munin в сообщении #1432335 писал(а):

Именно оттуда идея, что "интеграл есть скалярное произведение коцепи на цепь".

Кажется, я соврал, по памяти. Щас не могу там этого найти. Тогда следующая попытка: книжка (классика)

Уитни. Геометрическая теория интегрирования.

Так как она старая, то там обозначения странные; может, и термины тоже.

[Theoristos]

arseniiv в сообщении #1432350 писал(а):

Явно что-то новогоднее.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1432300 писал(а):

Я не видел объяснений, как выглядит внутреннее произведение $m$-формы и $n$-формы (при наличии евклидовой метрики), переход от $n$-формы к сопряжённому (двойственному) $n$-вектору и обратно, сопряжение Ходжа.

Кстати ещё раз возвращаясь, а вы видели внутреннее произведение $m$- и $n$-вектора? Что-то там с ортогональным проецированием (ну как и для 1-векторов собственно тоже с ним), но я сейчас не помню деталей.

А насчёт отображений $\wedge^n V^*\to \wedge^n V$ и $\star\colon\wedge^n V\to \wedge^{N-n} V$ можно надумать такое: первое представить как композицию $\star$ и $\star'\colon\wedge^n V^*\to \wedge^{N-n} V$. Посмотрим сначала на $\star''\colon\wedge^n V\to \wedge^{N-n} V^*$. Для него нам нужна форма объёма $\omega$ и больше ничего, так как это $a\mapsto \iota_a \omega$. Как это изобразить? Возьмём какой-нибудь ориентированный $n$-параллелотоп, соответствующий $a$, и достроим на нём $N$-параллелотоп единичного объёма $\omega^\sharp$, и продолжения параллельных $a$ $n$-граней этого объёма покажут нам геометрию результирующей формы. Правда нагляднее это всё получается, если взять сначала псевдоформу объёма. Ниже трёхмерное изображение того и того:

Кружочки и маленькие 3-ориентации на левых картинках обозначают «концентрацию плотности». На правых картинках из 3-вектора получается псевдоскаляр или скаляр. Можно видеть, что когда $n$-вектор-аргумент увеличивается, расстояния между элементами формы-результата уменьшаются как и следует. Заметим, от метрики такие преобразования никак не зависят: мы можем наклонять единичный объём как угодно в тех измерениях, которые не определены аргументом, и результат не изменится. (Потому я считаю, что звёздочка Ходжа в первую очередь должна обозначать такое преобразование, а конкретнее верхнее, потому что и выбора ориентации оно не требует.)

Эти же картинки можно воспринимать и в обратную сторону как интерпретацию $\star'\colon\wedge^n V^*\to \wedge^{N-n} V$. Наконец, чтобы получить $\star$, нам нужно нарисовать $\wedge^n V^*\to \wedge^n V$. Тут ничего в голову не приходит кроме как взять линейное преобразование $A$, доводящее скалярный квадрат аргумента до единицы, тут мы уже более наглядно его бемолим/диезим, и потом действуем $A$ ещё раз.

-- Чт янв 02, 2020 21:43:05 --

$P$ на картинке обозначает пространство псевдоскаляров.

-- Чт янв 02, 2020 22:06:16 --

Нелинейные операции $a\mapsto a^{\flat'} := a^\flat/(a, a)$ или $\alpha\mapsto \alpha^{\sharp'} := \alpha^\sharp/(\alpha, \alpha)$ притом можно изобразить картинками, аналогичными тем, что выше, если потребовать параллелотопу быть не единичного объёма, а прямым, и располагать аргумент и результат не «параллельно», а «ортогонально», потому что $(a, a^{\flat'}) = 1$ и $(\alpha, \alpha^{\sharp'}) = 1$. Эти операции можно даже с долей осторожности обозначать $a^{-1}, \alpha^{-1}$.

-- Чт янв 02, 2020 22:09:03 --

(То есть самая контринтуитивная операция, которая в итоге отфакторизовалась от всего легкоотображаемого среди композиций $\star, \flat, \sharp$ — это инверсия в единичной сфере $x\mapsto x/(x, x)$. Которую тоже можно было бы обозначать $x^{-1}$, потому выше «с долей осторожности»)

[Munin]

arseniiv в сообщении #1433133 писал(а):

Кстати ещё раз возвращаясь, а вы видели внутреннее произведение $m$- и $n$-вектора?

Не-а, не видел, надо разбираться.

[arseniiv]

Если зайти в алгебры Клиффорда, там есть несколько произведений, которые в чём-то внутренние, но то из них, которое достаточно натурально, некоммутативное для $n\ne m$. Хотя скалярная часть у него коммутативная.

[Munin]

Ну, после внешнего произведения как-то мы и не ожидаем коммутативности. Или опять же, представьте себе тензоры и произведение вида "свёртка по последнему индексу первого и первому индексу последнего тензора".

[Munin]

arseniiv в сообщении #1433133 писал(а):

Возьмём какой-нибудь ориентированный $n$-параллелотоп, соответствующий $a$, и достроим на нём $N$-параллелотоп единичного объёма $\omega^\sharp,$ и продолжения параллельных $a$ $n$-граней этого объёма покажут нам геометрию результирующей формы.

С трудом понял, что это верно. Интуиция протестовала.

arseniiv в сообщении #1433133 писал(а):

Ниже трёхмерное изображение того и того:

Картинки красивые, но к ним бы подробное объяснение к каждой картинке. Кроме того, я не вижу, например, привычного изображения 2-формы "ячейками-трубками". Каждая из картинок самодостаточна, или их надо "парами" читать? Что именно изображено?

(Оффтоп)

Ещё жду выкладывания и обсуждения других ваших картинок.

arseniiv в сообщении #1433133 писал(а):

А насчёт отображений $\wedge^n V^*\to \wedge^n V$ и $\star\colon\wedge^n V\to \wedge^{N-n} V$ можно надумать такое: первое представить как композицию $\star$ и $\star'\colon\wedge^n V^*\to \wedge^{N-n} V$. Посмотрим сначала на $\star''\colon\wedge^n V\to \wedge^{N-n} V^*$.

Что это за звёздочки со штрихами? Правильно ли я понимаю, что вы имели в виду

$\star\colon\wedge^n V\to \wedge^{N-n} V$

$\star'=\star\sharp\colon\wedge^n V^*\to \wedge^{N-n} V$
$\star''=\flat\star\colon\wedge^n V\to \wedge^{N-n} V^*$

?

(Пишу как левые операторы, композиция справа налево.)

[arseniiv]

Munin в сообщении #1433503 писал(а):

С трудом понял, что это верно. Интуиция протестовала.

О, странно. Когда начинаешь двигать это всё, сразу ощущаешь, что двигается ровно так как надо.

Munin в сообщении #1433503 писал(а):

Картинки красивые, но к ним бы подробное объяснение к каждой картинке. Кроме того, я не вижу, например, привычного изображения 2-формы "ячейками-трубками". Каждая из картинок самодостаточна, или их надо "парами" читать? Что именно изображено?

Да, стоит добавить пояснения:

В принципе ячейки можно сделать, проведя их 2-грани от прямой к прямой на моих изображениях. Мне понравились прямые, потому что это вообще есть силовые линии, протыкающие площадку, аналогично изображению плотности точечками («протыкающими» объём) и 1-формы плоскостями («протыкающими» вектор). Ячейки лучше, потому что позволяют считать величины в точности, а не примерно, но их и рисовать и считывать с рисунка труднее.

Картинки действительно предполагалось воспринимать в сравнении: сверху вроде более похожи поведение аргумента и результата, но зато сверху они отличаются псевдоскаляром. Снизу же никаких псевдовеличин не фигурирует, зато уже и разницы побольше и требуется (естественная или выбранная наобум) ориентация.

Наконец, изображены-то в точности $a\mapsto\alpha := \iota_a \omega$ сверху для псевдоформы объёма $\omega$ и снизу для формы объёма $\omega$; вообще не обязательно объёма, просто ненулевой. Хотя вместо самой формы мы там видим двойственный ей объёмчик. Несмотря на то, что я написал стрелку в одну сторону, можно понимать всё и в обратную: берём (псевдо)форму $\alpha$, вписываем в неё единичный (псевдо)объём и строим поливектор $a$. Ещё конечно для полноты не хватает двух оставшихся строк, где вместо векторов псевдовекторы, но их можно считать упражнением (тем более что я ориентировался на разнообразие форм больше, потому что тема о них).

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1433503 писал(а):

Ещё жду выкладывания и обсуждения других ваших картинок.

Я пока не дочитал про клеточные комплексы. Ещё я к ним как-то временно охладел.

Munin в сообщении #1433503 писал(а):

Что это за звёздочки со штрихами? Правильно ли я понимаю, что вы имели в виду
$\star\colon\wedge^n V\to \wedge^{N-n} V$

$\star'=\star\sharp\colon\wedge^n V^*\to \wedge^{N-n} V$
$\star''=\flat\star\colon\wedge^n V\to \wedge^{N-n} V^*$ ?

Да, сходится.