Две задачи про сопротивления

[worm2]

Грубая сила приводит к такой разности левой и правой части:

$$\frac{(ad-bc)^2}{(a+b+c+d)(a+b)(c+d)}.$$

[maxal]

worm2, а если без грубой силы, пользуясь подсказкой "про сопротивления"?

[worm2]

А... ну да. Красиво. Только рисовать надо уметь. И по-физически разговаривать. Как-то так: если мы в "сети резисторов" соединяем две какие-то точки дополнительым проводом (с нулевым сопротивлением), то суммарный ток может только увеличиваться, но не уменьшаться, соответственно, эффективное сопротивление не может вырасти.

[fred1996]

По первой задаче.
Любую электрическую цепь можно "разрезать" с помощью эквипотенциальных поверхностей. в такой цепи можно без ущерба соединять или разединять точки с одинаковым потенциалом. Таким образом любую цепь можно заменить эквивалентной цепью с последоавтельным соединением параллельных участков. Вот одним из таких участков окажется выбранный участок с любым сопротивлением. Это сопротивление параллельно соединено с сопротивлениями в этом участке. Поэтому если его выкинуть, сопротивление этого участка может только возрасти. Таким образом и сопротивление всей цепи может только возрасти. Ну или не измениться, если концы выбранного сопротивления случайно имеют одинаковый потенциал.

[Emergency]

fred1996 в сообщении #1432501 писал(а):

Любую электрическую цепь можно "разрезать" с помощью эквипотенциальных поверхностей.

Так уж и любую... Или бесконечно большую, или с бесконечно малыми резисторами. Естественно, могут быть частные решения.

[DeBill]

Простите, но я ничего не пОнял...

fred1996 в сообщении #1432501 писал(а):

Поэтому если его выкинуть

Это я понял. Не понял - почему после выкидывания мы получим цепь, эквивалентную исходной с выкинутым сопротивлением.

[Утундрий]

В рассуждении fred1996 молчаливо подразумевалось, что потенциалы "после" остаются равными потенциалам "до". Что как-то совсем не очевидно.

[DeBill]

Ну вот, благодаря svv и amon, решение задачи 1 , вроде, получается...
Наша электрическая сеть - граф, к вершинам $V_0$ и $V_N$ которого подведено напряжение с разностью потенциалов $\Delta U$. Ребро графа, соединяющее вершины $V_i$ и $V_j$, имеет сопротивление $R_{i,j}, 0<R_{i,j} \leqslant \infty $. Суммарный ток $I$, выходящий из вершины $V_0$, назовем током в цепи; тогда сопротивлением цепи назовем отношение $R=\frac{\Delta U}{I}$.
Теорема. При увеличении сопротивления любого из ребер, сопротивление цепи не уменьшится.
Доказательство. Рассмотрим функционал
$J(U)= \sum\limits_{i,j=0}^{N} \frac{1}{R_{i,j}}(U_i-U_j)^2$ на пространстве наборов $\{U_k\}$ с нормировкой $U_0=u_0,U_N=u_N$.
Заметим, что:
1. Минимум функционала достигается на "правильном" наборе потенциалов вершин.
2. Этот минимум равен $\frac{(u_0-u_N)^2}{R}$.
Но тогда все легко: при увеличении одного из сопротивлений, функционал уменьшается, так что и его минимум уменьшается, так что сопротивление цепи возрастает. Все!
Ну, остальное - чисто техника:
1. Функционал - строго выпуклый, квадратичный, так что экстремум есть, единственен, и является минимумом. Призводные в точке минимума равны нулю:
$\frac{\partial J}{\partial U_j}= \sum\limits_{k=0}^{N}\frac{2}{R_{j,k}}(U_j-U_k) =0, j=1,...,N-1$ . Заметим, что эта система есть в точности система уравнений Киркгофа: суммарный ток в каждой (внутренней) вершине равен нулю. Так что система эта (квадратичность функционала!) имеет единственное решение, и оно доставляет правильное распределение потенциалов в вершинах цепи.
Rem. Складывая все равенства системы, для решения системы, после сокращений, получим: $\sum\limits_{i=1}^{N}\frac{U_i-U_0}{R_{i,0}}+\sum\limits_{i=0}^{N-1}\frac{U_i-U_N}{R_{i,N}} =0$. Здесь первое слагаемое есть суммарный ток $I_0$, выходящий из $V_0$, а второе - суммарный ток $I_N$, выходящий из $V_N$. В частности, имеем $I=I_0=-I_N$.
2. а) Для квадратичного функционала $J(x) = Q(x)-2l(x)+C$ (здесь $Q(x)= (Ax,x), l(x) = (a,x), A $- положительно определенная, симметричная матрица) имеем: $J'(x)= 2(Ax-a,.) =0$, откуда находим его точку минимума $x_*=A^{-1}a$. Тогда минимум функционала $J$ равен $J(x_*)= C-(a,x_*)$.
б) Для нашего функционала имеем: $Q(U)= \sum\limits_{i,j=1}^{N-1} \frac{(U_i-U_j)^2}{R_{i,j}}$, $l(U)= u_0\sum\limits_{k=1}^{N-1}\frac{U_k}{R_{0,k}}+ u_N\sum\limits_{k=1}^{N-1}\frac{U_k}{R_{N,k}}$, $C=u_0^2\sum\limits_{k=1}^{N-1}\frac{1}{R_{0,k}}+u_N^2\sum\limits_{k=1}^{N-1}\frac{1}{R_{N,k}}+\frac{(u_0-u_N)^2}{R_{0,N}}$.
в) Для решения $\{U_j\}$ системы уравнений Киркгофа, из п. а), б) имеем:
$J_{min}= C-l(U)=U_0^2\sum\limits_{k=1}^{N-1}\frac{1}{R_{0,k}}+U_N^2\sum\limits_{k=1}^{N-1}\frac{1}{R_{N,k}}+\frac{(U_0-U_N)^2}{R_{0,N}} - U_0\sum\limits_{k=1}^{N-1}\frac{U_k}{R_{0,k}} -U_N\sum\limits_{k=1}^{N-1}\frac{U_k}{R_{N,k}} =-U_0I_0 -U_NI_N = (u_N-u_0)I=\frac{(u_0-u_N)^2}{R}$
Уффф.

[Утундрий]

DeBill в сообщении #1432753 писал(а):

Минимум функционала достигается на "правильном" наборе потенциалов вершин.

Как сие понимать?

[DeBill]

Утундрий в сообщении #1432758 писал(а):

Как сие понимать?

Имелось в виду - тот набор потенциалов, что и будет иметь место в эксперименте (ну а уж если совсем честно - то набор, удовлетворяющий системе уравнений Киркгофа)

[Утундрий]

Понятно, на "действительном" наборе. И там еще "нормировку" лучше на "гран. условие" заменить.

[DeBill]

Утундрий в сообщении #1432762 писал(а):

И там еще "нормировку" лучше на "гран. условие" заменить.

Ну да, это я поленился - длинное слово писать...Хотя , с "гран." всего на 2 буквы больше

[fred1996]

Утундрий в сообщении #1432568 писал(а):

В рассуждении fred1996 молчаливо подразумевалось, что потенциалы "после" остаются равными потенциалам "до". Что как-то совсем не очевидно.

Вовсе нет. Мы до выкидывания делаем разрезание двумя эквипотенциальными поверхностями, имющими потенциалы концов выбранного сопротивления. Далее соединяем разрезанные концы с одинаковыми потенциалами в два узла и заменяем всю схему на 4 эквивалентные сопротивления: $R_2$, параллельно соединенное с нашим сопротивлением $R$ и два сопротивления $R_1, R_3$, соединенные с ними последовательно. Теперь вы можете забыть про потенциалы, поскольку мы уже провели эквивалентные замены. Очевидно, что теперь, если отсоединить из этой схемы сопротивление $R$, то общее сопротивление либо возрастет, либо останется тем же (потенциалы случацно совпали), либо превратится в бесконечность (если мы опять же случайно разорвали всю цепь).

[Утундрий]

Тут нужно порисовать и подумать.

[Emergency]

fred1996 в сообщении #1432803 писал(а):

Мы до выкидывания делаем разрезание двумя эквипотенциальными поверхностями

Зачем так сложно, если можно выбросить сразу весь граф, заменив его одним эквивалентным сопротивлением?