2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение31.12.2019, 13:44 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
fred1996
Остается прежний вопрос: почему схема, полученная заменой нашего сопротивления в эквивалентной схеме, эквивалентна исходной схеме с замененным сопротивлением?
Если можно, продемонстрируйте это на примере:
в цепи имеются 6 ребер с сопротивлением 1 : $AB,BC,CD, AE,EF,FD$, сопротивление $BC$ заменяем на 2, сопротивление меряем между точками $A$ и $D$.

(Оффтоп)

У меня получилось $\frac{12}{7}$ и $\frac{5}{3}$. А что будет при выбрасывании - в Вашем рассуждении?


-- 31.12.2019, 15:50 --

Emergency в сообщении #1432856 писал(а):
Зачем так сложно, если можно выбросить сразу весь граф, заменив его одним эквивалентным сопротивлением?

Ага. И, поскольку понятно, что сопротивление увеличилось, мы видим: да, оно таки увеличилось!

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение31.12.2019, 15:09 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Emergency в сообщении #1432856 писал(а):
Зачем так сложно, если можно выбросить сразу весь граф, заменив его одним эквивалентным сопротивлением?


На три вообще-то. См. выше мой пост.

-- 31.12.2019, 15:22 --

DeBill в сообщении #1432871 писал(а):
Ага. И, поскольку понятно, что сопротивление увеличилось, мы видим: да, оно таки увеличилось!


Чуть по-другому.
1. Представляем наш граф, как четырехполюсник: два полюса - вход (где измеряем сопротивление) и два полюса - выход, к которому подключено сопротивление, которой пережигаем (оно играет роль нагрузки).
2. Четырехполюсник можно представить в виде эквивалентной схемы из всего трех сопротивлений (вообще говоря комплексных, но в нашем случае - реальных, больше нуля) - в виде Т-образной или П-образной схем. Насколько помню ТОЭ, это следует из того, что цепь является линейной (четыре параметра - входные\выходные ток\напряжение связаны линейно).
3. Далее считаем входное сопротивление четырехполюсника с подключенной и отключенной нагрузкой.
Всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение31.12.2019, 15:48 
Аватара пользователя


07/03/16

3167
EUgeneUS в сообщении #1432887 писал(а):
На три вообще-то. См. выше мой пост.

Сильно выше и без пояснений. Теперь вижу, что это действительно решение задачи. Просто и со вкусом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение31.12.2019, 16:17 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
EUgeneUS в сообщении #1432887 писал(а):
Далее считаем входное сопротивление четырехполюсника с подключенной и отключенной нагрузкой.

И - что?
DeBill в сообщении #1432871 писал(а):
Если можно, продемонстрируйте это на примере:
в цепи имеются 6 ребер с сопротивлением 1 : $AB,BC,CD, AE,EF,FD$, сопротивление $BC$ удаляем, сопротивление меряем между точками $A$ и $D$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение31.12.2019, 18:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
DeBill в сообщении #1429905 писал(а):
Найти сопротивление между соседними узлами бесконечной цепи вида "правильная квадратная решетка"
Ну, давайте и эту задачку погоняем. В общем случае (сопротивление между произвольной парой узлов) она эквивалентна задачке о нахождении потенциалов узлов решетки (или токов по ребрам, что одно и то же) в случае, когда на некотором узле зафиксирован потенциал $U_0,$ а на бесконечности потенциал ноль. Как это решать в общем случае я сходу не соображу. Для соседних узлов все просто, поскольку из симметрии токи по всем ребрам одинаковы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение31.12.2019, 19:40 
Аватара пользователя


07/03/16

3167
DeBill в сообщении #1432871 писал(а):
в цепи имеются 6 ребер с сопротивлением 1 : $AB,BC,CD, AE,EF,FD$, сопротивление $BC$ удаляем, сопротивление меряем между точками $A$ и $D$.

Вот так?
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение31.12.2019, 21:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
amon в сообщении #1432911 писал(а):
В общем случае (сопротивление между произвольной парой узлов) она эквивалентна задачке о нахождении потенциалов узлов решетки (или токов по ребрам, что одно и то же) в случае, когда на некотором узле зафиксирован потенциал $U_0,$ а на бесконечности потенциал ноль.

Увы, там всё хуже. Задать потенциал 0 на бесконечности нельзя. (Нормировка в лучшем случае на поток.)

Почитайте ссылочки, которые я дал в начале темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение31.12.2019, 21:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Munin в сообщении #1432928 писал(а):
Увы, там всё хуже. Задать потенциал 0 на бесконечности нельзя. (Нормировка в лучшем случае на поток.)

Почитайте ссылочки, которые я дал в начале темы.


Так там же потенциал на бесконечности как раз убывает,$V=O(1/r)$.

Хотя и не принадлежит $\ell^2$. Причина в том, что у дискретного оператора Лапласа непрерывный спектр. Если мы вне спектра, то элементы функции Грина будут экспоненциально убывать, и будет естественное решение неоднородной задачи, экспоненциально убывающее (все остальные будут экспоненциально растущими). Если мы на спектре, то, действительно, может не быть убывающего решения. Но в данном случае мы на краю спектра. Там есть одно выделенное решение, которое убывает как $1/r$, все остальные либо не убывают, либо растут (но не экспоненциально).

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение31.12.2019, 22:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
g______d в сообщении #1432930 писал(а):
Так там же потенциал на бесконечности как раз убывает,$V=O(1/r)$.

Это он в трёхмерном случае должен так убывать. А тут двумерный. Логарифм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение31.12.2019, 23:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Munin в сообщении #1432937 писал(а):
Это он в трёхмерном случае должен так убывать. А тут двумерный. Логарифм.


По-моему, он сокращается, если в правой части $\delta_{n}-\delta_{n-a}$. Но я на всякий случай проверю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение01.01.2020, 01:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А, тогда я недопонял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение01.01.2020, 08:57 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
DeBill в сообщении #1432903 писал(а):
И - что?DeBill в сообщении #1432871

писал(а):
Если можно, продемонстрируйте это на примере:
в цепи имеются 6 ребер с сопротивлением 1 : $AB,BC,CD, AE,EF,FD$, сопротивление $BC$ удаляем, сопротивление меряем между точками $A$ и $D$.



Сначала в общем виде. Используем Т-образную схему замещения четырех полюсника: Изображение.
На рисунке указаны импедансы $Z$, но в нашем случае это будут активные сопротивления $R_{1,2,3}$.
Подключим справа нагрузку $R_H$ и посчитаем входное сопротивление:
$R_{Bx} = R_1 + \frac{R_2(R_3 + R_H)}{R_2+(R_3 + R_H)}$

При $R_1, R_3 \geqslant 0$, $R_2 > 0$ функция $R_{Bx}(R_H)$ монотонно возрастает.
При $R_2 = 0$ $R_{Bx}=R_1$ и не зависит от $R_H$.

ЧТД.

$R_{1,2,3}$ можно найти следующим образом:
1. Посчитать три параметра для Т-образной схемы замещения: входное сопротивление при разомкнутой нагрузке, входное сопротивление при КЗ в нагрузке, выходное сопротивление при разомкнутом входе. И выразить $R_{1,2,3}$ через полученные значения.
2. Сделать тоже самое для заданного графа с сопротивлениями.

Это несложно, но громоздко.

С новым годом!

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение01.01.2020, 15:02 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Upd: только сейчас заметил, что нумерация элементов на картинке отличается от привычного :-(
В формулах и тексте нумерация "слева направо", резистор, который нарисован вертикально, имеет номер $2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение01.01.2020, 17:47 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
EUgeneUS
Да, все, вроде бы, должно получаться. Есть только один нюанс:
при обосновании монотонности, Вы использовали положительность Эрок.
Но как они находятся? Надо:
1.
EUgeneUS в сообщении #1432949 писал(а):
2. Сделать тоже самое для заданного графа с сопротивлениями.

2.
EUgeneUS в сообщении #1432949 писал(а):
Посчитать три параметра для Т-образной схемы замещения: входное сопротивление при разомкнутой нагрузке, входное сопротивление при КЗ в нагрузке, выходное сопротивление при разомкнутом входе.


3.
EUgeneUS в сообщении #1432949 писал(а):
выразить $R_{1,2,3}$ через полученные значения.

И вот теперь надо посмотреть условие их положительности. Как я понимаю, это приведет нас в точности к исходной задаче (возможно, для частного случая: сопротивление в графе при КЗ меньше, чем при размыкании; но есть еще что-то про вых. сопротивление....не проверял)

-- 01.01.2020, 19:57 --

Emergency в сообщении #1432920 писал(а):
Вот так?

Да.
Да, мой пример для такого рассуждения - не есть контрпример (пример строился именно для док-ва fred1996). Да его, типа, и нет. Рассуждение верно, но для всего подхода (с четырехполюсниками) проблема просто переносится на другой уровень - см. мой ответ EUgeneUS: почему четырехполюсник с тремя сопротивлениями, эквивалентный заданному (состоящему из кучи резисторов), состоит из резисторов с положительными сопротивлениями?

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение01.01.2020, 18:05 
Аватара пользователя


07/03/16

3167
DeBill в сообщении #1433006 писал(а):
почему четырехполюсник с тремя сопротивлениями, эквивалентный заданному (состоящему из кучи резисторов), состоит из резисторов с положительными сопротивлениями?

Потому что задача не имеет смысла для резисторов с отрицательным сопротивлением.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 50 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group