2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение19.12.2019, 15:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Грубая сила приводит к такой разности левой и правой части: $$\frac{(ad-bc)^2}{(a+b+c+d)(a+b)(c+d)}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение19.12.2019, 21:57 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
worm2, а если без грубой силы, пользуясь подсказкой "про сопротивления"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение19.12.2019, 23:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
А... ну да. Красиво. Только рисовать надо уметь. И по-физически разговаривать. Как-то так: если мы в "сети резисторов" соединяем две какие-то точки дополнительым проводом (с нулевым сопротивлением), то суммарный ток может только увеличиваться, но не уменьшаться, соответственно, эффективное сопротивление не может вырасти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение29.12.2019, 06:20 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
По первой задаче.
Любую электрическую цепь можно "разрезать" с помощью эквипотенциальных поверхностей. в такой цепи можно без ущерба соединять или разединять точки с одинаковым потенциалом. Таким образом любую цепь можно заменить эквивалентной цепью с последоавтельным соединением параллельных участков. Вот одним из таких участков окажется выбранный участок с любым сопротивлением. Это сопротивление параллельно соединено с сопротивлениями в этом участке. Поэтому если его выкинуть, сопротивление этого участка может только возрасти. Таким образом и сопротивление всей цепи может только возрасти. Ну или не измениться, если концы выбранного сопротивления случайно имеют одинаковый потенциал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение29.12.2019, 18:48 
Аватара пользователя


07/03/16

3167
fred1996 в сообщении #1432501 писал(а):
Любую электрическую цепь можно "разрезать" с помощью эквипотенциальных поверхностей.

Так уж и любую... Или бесконечно большую, или с бесконечно малыми резисторами. Естественно, могут быть частные решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение29.12.2019, 20:17 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Простите, но я ничего не пОнял...
fred1996 в сообщении #1432501 писал(а):
Поэтому если его выкинуть

Это я понял. Не понял - почему после выкидывания мы получим цепь, эквивалентную исходной с выкинутым сопротивлением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение29.12.2019, 20:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11535
В рассуждении fred1996 молчаливо подразумевалось, что потенциалы "после" остаются равными потенциалам "до". Что как-то совсем не очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение30.12.2019, 20:01 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Ну вот, благодаря svv и amon, решение задачи 1 , вроде, получается...
Наша электрическая сеть - граф, к вершинам $V_0$ и $V_N$ которого подведено напряжение с разностью потенциалов $\Delta U$. Ребро графа, соединяющее вершины $V_i$ и $V_j$, имеет сопротивление $R_{i,j}, 0<R_{i,j} \leqslant \infty $. Суммарный ток $I$, выходящий из вершины $V_0$, назовем током в цепи; тогда сопротивлением цепи назовем отношение $R=\frac{\Delta U}{I}$.
Теорема. При увеличении сопротивления любого из ребер, сопротивление цепи не уменьшится.
Доказательство. Рассмотрим функционал
$J(U)= \sum\limits_{i,j=0}^{N} \frac{1}{R_{i,j}}(U_i-U_j)^2$ на пространстве наборов $\{U_k\}$ с нормировкой $U_0=u_0,U_N=u_N$.
Заметим, что:
1. Минимум функционала достигается на "правильном" наборе потенциалов вершин.
2. Этот минимум равен $\frac{(u_0-u_N)^2}{R}$.
Но тогда все легко: при увеличении одного из сопротивлений, функционал уменьшается, так что и его минимум уменьшается, так что сопротивление цепи возрастает. Все!
Ну, остальное - чисто техника:
1. Функционал - строго выпуклый, квадратичный, так что экстремум есть, единственен, и является минимумом. Призводные в точке минимума равны нулю:
$\frac{\partial J}{\partial U_j}= \sum\limits_{k=0}^{N}\frac{2}{R_{j,k}}(U_j-U_k) =0, j=1,...,N-1$ . Заметим, что эта система есть в точности система уравнений Киркгофа: суммарный ток в каждой (внутренней) вершине равен нулю. Так что система эта (квадратичность функционала!) имеет единственное решение, и оно доставляет правильное распределение потенциалов в вершинах цепи.
Rem. Складывая все равенства системы, для решения системы, после сокращений, получим: $\sum\limits_{i=1}^{N}\frac{U_i-U_0}{R_{i,0}}+\sum\limits_{i=0}^{N-1}\frac{U_i-U_N}{R_{i,N}} =0$. Здесь первое слагаемое есть суммарный ток $I_0$, выходящий из $V_0$, а второе - суммарный ток $I_N$, выходящий из $V_N$. В частности, имеем $I=I_0=-I_N$.
2. а) Для квадратичного функционала $J(x) = Q(x)-2l(x)+C$ (здесь $Q(x)= (Ax,x), l(x) = (a,x), A $- положительно определенная, симметричная матрица) имеем: $J'(x)= 2(Ax-a,.) =0$, откуда находим его точку минимума $x_*=A^{-1}a$. Тогда минимум функционала $J$ равен $J(x_*)= C-(a,x_*)$.
б) Для нашего функционала имеем: $Q(U)= \sum\limits_{i,j=1}^{N-1} \frac{(U_i-U_j)^2}{R_{i,j}}$, $l(U)= u_0\sum\limits_{k=1}^{N-1}\frac{U_k}{R_{0,k}}+ u_N\sum\limits_{k=1}^{N-1}\frac{U_k}{R_{N,k}}$, $C=u_0^2\sum\limits_{k=1}^{N-1}\frac{1}{R_{0,k}}+u_N^2\sum\limits_{k=1}^{N-1}\frac{1}{R_{N,k}}+\frac{(u_0-u_N)^2}{R_{0,N}}$.
в) Для решения $\{U_j\}$ системы уравнений Киркгофа, из п. а), б) имеем:
$J_{min}= C-l(U)=U_0^2\sum\limits_{k=1}^{N-1}\frac{1}{R_{0,k}}+U_N^2\sum\limits_{k=1}^{N-1}\frac{1}{R_{N,k}}+\frac{(U_0-U_N)^2}{R_{0,N}} - U_0\sum\limits_{k=1}^{N-1}\frac{U_k}{R_{0,k}} -U_N\sum\limits_{k=1}^{N-1}\frac{U_k}{R_{N,k}} =-U_0I_0 -U_NI_N = (u_N-u_0)I=\frac{(u_0-u_N)^2}{R}$
Уффф.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение30.12.2019, 20:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11535
DeBill в сообщении #1432753 писал(а):
Минимум функционала достигается на "правильном" наборе потенциалов вершин.
Как сие понимать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение30.12.2019, 20:43 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Утундрий в сообщении #1432758 писал(а):
Как сие понимать?

Имелось в виду - тот набор потенциалов, что и будет иметь место в эксперименте (ну а уж если совсем честно - то набор, удовлетворяющий системе уравнений Киркгофа)

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение30.12.2019, 20:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11535
Понятно, на "действительном" наборе. И там еще "нормировку" лучше на "гран. условие" заменить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение30.12.2019, 22:54 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Утундрий в сообщении #1432762 писал(а):
И там еще "нормировку" лучше на "гран. условие" заменить.

Ну да, это я поленился - длинное слово писать...Хотя , с "гран." всего на 2 буквы больше :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение31.12.2019, 00:13 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Утундрий в сообщении #1432568 писал(а):
В рассуждении fred1996 молчаливо подразумевалось, что потенциалы "после" остаются равными потенциалам "до". Что как-то совсем не очевидно.


Вовсе нет. Мы до выкидывания делаем разрезание двумя эквипотенциальными поверхностями, имющими потенциалы концов выбранного сопротивления. Далее соединяем разрезанные концы с одинаковыми потенциалами в два узла и заменяем всю схему на 4 эквивалентные сопротивления: $R_2$, параллельно соединенное с нашим сопротивлением $R$ и два сопротивления $R_1, R_3$, соединенные с ними последовательно. Теперь вы можете забыть про потенциалы, поскольку мы уже провели эквивалентные замены. Очевидно, что теперь, если отсоединить из этой схемы сопротивление $R$, то общее сопротивление либо возрастет, либо останется тем же (потенциалы случацно совпали), либо превратится в бесконечность (если мы опять же случайно разорвали всю цепь).

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение31.12.2019, 00:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11535
Тут нужно порисовать и подумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи про сопротивления
Сообщение31.12.2019, 12:05 
Аватара пользователя


07/03/16

3167
fred1996 в сообщении #1432803 писал(а):
Мы до выкидывания делаем разрезание двумя эквипотенциальными поверхностями

Зачем так сложно, если можно выбросить сразу весь граф, заменив его одним эквивалентным сопротивлением?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 50 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group