Экстремали функционала

[Azusa_Nakano]

Dan B-Yallay в сообщении #1431850 писал(а):

Azusa_Nakano в сообщении #1431846 писал(а):

А как оно должно выглядеть?

Ваш преподаватель категорически запретил пользоваться учебниками и/или интернетом?

Я понимаю что нужно разделить уравнение на 2 функции, но не знаю на какие.

upd: почитал литературу, сейчас ход мыслей такой:
1. Имеем данное уравнение: $y'=\frac{4C^2}{y^2}$
2. Записываем $y'$ как $\frac{dy}{dx}$
3. Подставляя в (1), получаем: $\frac{dy}{dx}=\frac{4C^2}{y^2}$
3.1 Вопрос, можно ли вместо $4C^2$ написать просто $C_1$, ведь по сути это все равно число.
4. Интегрируем обе части: $\int y^2 dy = 4C^2 dx$
5. Получаем: $\frac{y^3}{3}=4C^2 x$

Правильно ли? И что делать после?

[Dan B-Yallay]

Azusa_Nakano в сообщении #1431851 писал(а):

Я понимаю что нужно разделить уравнение на 2 функции, но не знаю на какие.

По моему термин "разделяющиеся переменные" говорит сам за себя.

[Утундрий]

Azusa_Nakano
Как ещё можно записать $y'(x)$?

[thething]

Azusa_Nakano
Вы же не из вакуума досюда дошли, в самом деле!
У Вас перед курсом вариационного исчисления должен был быть обязательный курс дифференциальных уравнений. В котором данный тип уравнений рассматривается в первую очередь.

[Lia]

Azusa_Nakano в сообщении #1431851 писал(а):

Я понимаю что нужно разделить уравнение на 2 функции, но не знаю на какие.

Откройте Филиппова/любой другой учебник/задачник по ОДУ.
До ликвидации пробелов в этой части тема побудет в Карантине.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:


- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[SomePupil]

Azusa_Nakano, плюс-вторая-константа должна появиться при интегрировании.
Ответ на вопрос 3-1: да, можно опускать лишние множители-константы.

[Azusa_Nakano]

Azusa_Nakano в сообщении #1431851 писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #1431850 писал(а):

Azusa_Nakano в сообщении #1431846 писал(а):

А как оно должно выглядеть?

Ваш преподаватель категорически запретил пользоваться учебниками и/или интернетом?

Я понимаю что нужно разделить уравнение на 2 функции, но не знаю на какие.

upd: почитал литературу, сейчас ход мыслей такой:
1. Имеем данное уравнение: $y'=\frac{4C^2}{y^2}$
2. Записываем $y'$ как $\frac{dy}{dx}$
3. Подставляя в (1), получаем: $\frac{dy}{dx}=\frac{4C^2}{y^2}$
3.1 Вопрос, можно ли вместо $4C^2$ написать просто $C_1$, ведь по сути это все равно число.
4. Интегрируем обе части: $\int y^2 dy = 4C^2 dx$
5. Получаем: $\frac{y^3}{3}=4C^2 x$

Правильно ли? И что делать после?

В общем решая $\frac{y^3}{3}=C_1^2 x$ после подстановки из условия $y(1)=2$ и $y(3)=8$ получилось $C_1=\frac{8}{3}$ и $C_2=\frac{8}{9}$

SomePupil в сообщении #1431897 писал(а):

Azusa_Nakano, плюс-вторая-константа должна появиться при интегрировании.

А можно прям пальцем ткнуть туда, где не хватает второй константы? По таблицам вроде ни справа, ни слева новая $C$ нигде не вылазит

[svv]

Azusa_Nakano в сообщении #1431851 писал(а):

3.1 Вопрос, можно ли вместо $4C^2$ написать просто $C_1$, ведь по сути это все равно число.

Я чуть уточню: да, если Вы не будете забывать, что оно неотрицательное.

Azusa_Nakano в сообщении #1431903 писал(а):

В общем решая $\frac{y^3}{3}=C_1^2 x$ после подстановки из условия $y(1)=2$ и $y(3)=8$ получилось $C_1=\frac{8}{3}$ и $C_2=\frac{8}{9}$

Ваше $C_1$ не может меняться от одного условия к другому. Меняя её, Вы отбрасываете одно решение и заменяете его другим, что недопустимо. А нужно, чтобы одно решение удовлетворяло всем условиям сразу.

Но Вы не сможете найти такое $C_1$, при котором выполняются все граничные условия: Вы получите противоречие (собственно, уже получили). Это противоречие и показывает, что констант у Вас недостаточно.

[Azusa_Nakano]

Вроде решил, но не выполняется условие $C_3\geqslant0$:
1) $\frac{y^3}{3}+C_1=4C^2 x+C_2$
2) $\frac{y^3}{3}=4C^2 x+C_2-C_1$
3) Заменяем $4C^2$ на $C_3, C_3\geqslant0$ и $C_2-C_1$ на $C_4$
4) Получим: $\frac{y^3}{3}=C_3 x+C_4$
5) Подставим $y(1)=2$ и $y(3)=8$ и составим систему уравнений.
5.1) $2^3=3(C_3 1 + C_4)$
5.2) $8^3=3(C_3 3 + C_4)$
6) В ходе решения получим: $C_4=\frac{55}{3}$ $C_3=-\frac{47}{3}$

[EUgeneUS]

Вычтем 5.1 из 5.2 получается:

$8^3 - 2^3 = 3 \cdot 2 \cdot C_3$
Как у Вас $C_3$ получилось меньше нуля - загадка.

[Azusa_Nakano]

Пересчитал, теперь вроде все сходится

[svv]

Можете показать, что получилось?