Сумма ряда

[Sicker]

Лукомор в сообщении #1431830 писал(а):

Иными словами:
"В какой момент времени количество шариков в ящике начнет уменьшаться?"

Ответ - ни в какой, количество шариков неограниченно возрастает на $[11,12)$, и становится равно нулю в $12$

Лукомор в сообщении #1431830 писал(а):

Ответ не скажу, это долго объяснять, и вообще здесь это оффтопик...

Боитесь, что раскритикуют, и что это не ответ никакой?
Можете создать отдельную тему, или написать мне в личку

Лукомор в сообщении #1431830 писал(а):

А бесконечность у нас одна!
Она же плюс, она же и минус.

Это вы Варшамова начитались?

[mihaild]

Лукомор в сообщении #1431804 писал(а):

Уже никто не спорит

Как-то очень многословно никто не спорит...

Лукомор в сообщении #1431804 писал(а):

Изначально спор был о том:" У кого правильнее?"

Как только появится определение "правильнее", так сразу станет возможно начинать выяснять, у кого правильнее. Без такого определения - нельзя.

Можно еще выяснять как удобнее в том или ином случае. Но опять же - нужен случай.

[Лукомор]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1431835 писал(а):

Как-то очень многословно никто не спорит...

Это просто эхо!

-- Ср дек 25, 2019 01:48:09 --

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1431835 писал(а):

Но опять же - нужен случай.

Именно так!
Причем случаи могут быть разные...

-- Ср дек 25, 2019 01:58:41 --

Sicker в сообщении #1431834 писал(а):

Это вы Варшамова начитались?

Я бы с удовольствием начитался Варшамова, который на самом деле Вершамов, но не могу найти его книжечку.
Видимо я Римана начитался ...

-- Ср дек 25, 2019 02:03:30 --

Sicker в сообщении #1431834 писал(а):

Можете создать отдельную тему, или написать мне в личку

Не могу, у меня другая сейчас тема горит, никак не доведу до логического завершения...

-- Ср дек 25, 2019 02:15:27 --

Sicker в сообщении #1431834 писал(а):

Ответ - ни в какой, количество шариков неограниченно возрастает на $[11,12]$, и становится равно нулю в $12$

Это да! Опять я неаккуратно выразился...
Это по времени так, а по конкретному шарику там по-другому совсем...
Впрочем, мы отвлеклись от темы.
Вот скажите, например, как там по-Вашим правилам, чему будет равно:
$\sum\limits_{k}^{1} + \sum\limits_{n}^{k+1}$.

[Sicker]

Лукомор в сообщении #1431847 писал(а):

Это по времени так, а по конкретному шарику там по-другому совсем...

Что по другому? В момент времени $12-\frac{1}{n}$ там $[n,10n]$ шаров, в момент времени $12$ там $\varnothing$ шаров

Лукомор в сообщении #1431847 писал(а):

Вот скажите, например, как там по-Вашим правилам, чему будет равно:
$\sum\limits_{k}^{1} + \sum\limits_{n}^{k+1}$,
где 1 < k < n.

$-\sum\limits_{2}^{n-1}+\sum\limits_{k}^{k+1}$

[Лукомор]

Sicker в сообщении #1431858 писал(а):

Что по другому? В момент времени $12-\frac{1}{n}$ там $[n,10n]$ шаров, в момент времени $12$ там $\varnothing$ шаров

Всё правильно, но это ничего не объясняет, по крайней мере мне не понятно было, как это работает...
Поэтому я так волновался.

Тогда я рассмотрел не каждый отдельный момент времени, в который происходят какие-то изменения с количеством шаров в ящике, а, наоборот, каждый (десятый) шарик, и для этого шарика разность двух моментов времени - момент, когда этот шарик укладывается в ящик, и момент, когда этот шарик извлекается из ящика.
И вот только когда я понял, что эта разность стремится к нулю, и скорость убывания этой разности превышает скорость наполнения ящика шарами, меня попустило...
Я понял саму механику этого действа.

Все оказалось банально:
если рассматривать процесс укладки шара в ящик, как имеющий некоторую фиксированную и конечную длительность,
то интервал между укладкой шара в ящик и выемкой его же из ящика быстро станет меньше времени,
необходимого для, собственно, укладки шара в ящик
И мы можем спокойно и грубо считать, что, начиная с некоторого номера $n$ шары перестают попадать в ящик, процессируя сразу из кучи еще не уложенных шаров, в кучу уже вынутых шаров.

Парадокс исчез. Ящик опустел еще до того момента, когда карета превратилась в тыкву...

-- Ср дек 25, 2019 08:59:57 --

Sicker в сообщении #1431858 писал(а):

$-\sum\limits_{2}^{n-1}+\sum\limits_{k}^{k+1}$

Правильно.
Я записываю это несколько по-другому:
$-\sum\limits_{2}^{k-1}-\sum\limits_{k+2}^{n-1}$
но это дело вкуса, поскольку то же самое.
И этот результат говорит нам о том, что у нас проблемы.

Действительно, интервалы $[1,k]$ и $[k+1, n]$ перекрывают интервал $ [1,n]$,
и нам, наверное, хотелось бы, чтобы за те же деньги выполнялось бы равенство:
$\sum\limits_{n}^{1}=\sum\limits_{n}^{k+1}+\sum\limits_{k}^{1}$
Однако, по нашим правилам,
$\sum\limits_{n}^{1}=-\sum\limits_{2}^{n-1}\ne -\sum\limits_{2}^{n-1}+\sum\limits_{k}^{k+1} $,
и это большая жаль...

[RIP]

Кстати, применение у таких сумм вполне себе есть — чтобы тождества типа $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ были верны при всех $n\in\mathbb{Z}$. (Более общо: $\sum_{k=a}^{b-1}\left(S_{k+1}-S_{k}\right)=S_{b}-S_{a}$.)

[mihaild]

Лукомор в сообщении #1431864 писал(а):

и нам, наверное, хотелось бы, чтобы за те же деньги выполнялось бы равенство:
$\sum\limits_{n}^{1}=\sum\limits_{n}^{k+1}+\sum\limits_{k}^{1}$

Не вижу зачем. Вы наверное еще и концы интервалов хотите в произвольном порядке объявлять, $[1; 2] = [2; 1]$?
Я не понимаю, почему вы упорно настаиваете, что индексы у суммы не упорядочены. Можно конечно так договориться, но говорить, что другая договоренность "неправильная" потому что не соответсвует этой - как минимум странно.

[Лукомор]

mihaild в сообщении #1431894 писал(а):

Не вижу зачем.

Речь идет о частичной сумме числового ряда.
Мы разбиваем эту сумму на несколько частичных сумм, почему при этом должна измениться сумма исходной части ряда?

[mihaild]

Лукомор в сообщении #1431899 писал(а):

Речь идет о частичной сумме числового ряда.

Частичная сумма традиционно записывается как $\sum_1^n$. А разбиение на две - как $\sum_1^k + \sum_{k + 1}^n$. C чего вы внезапно хотите разрешить брать верхний индекс первого слагаемого больше нижнего индекса второго - непонятно.

[Лукомор]

mihaild в сообщении #1431900 писал(а):

C чего вы внезапно хотите разрешить брать верхний индекс первого слагаемого больше нижнего индекса второго - непонятно.

Я могу и не разрешать, пусть будет верхний индекс первого слагаемого меньше нижнего индекса второго,
так, как у меня было изначально:

Лукомор в сообщении #1431847 писал(а):

$\sum\limits_{k}^{1} + \sum\limits_{n}^{k+1}$,
где $1 < k < n$.

Так лучше?!

[mihaild]

Лукомор в сообщении #1431930 писал(а):

Так лучше?!

Наверное хочется, чтобы $\sum_k^1 + \sum_n^{k + 1} = \sum_n^1$. И это будет выполнено как в определении $\sum_a^b = \sum_b^a$ так и в определении $\sum_a^b = -\sum_{b + 1}^{a - 1}$, если $k < n$. А вот если $k \geqslant n$, то в определении $\sum_a^b = -\sum_{b + 1}^{a - 1}$ это свойство сохранится, а в определении $\sum_a^b = \sum_b^a$ - нет.

[Sicker]

Лукомор в сообщении #1431864 писал(а):

И вот только когда я понял, что эта разность стремится к нулю, и скорость убывания этой разности превышает скорость наполнения ящика шарами, меня попустило..

Постойте, скорость с которой шарики вынимаются в $10$ раз меньше той, с которой они туда укладываются до $12$ часов полудня

Лукомор в сообщении #1431864 писал(а):

И мы можем спокойно и грубо считать, что, начиная с некоторого номера $n$ шары перестают попадать в ящик, процессируя сразу из кучи еще не уложенных шаров, в кучу уже вынутых шаров.

Не очень понятно, если мы фиксируем длительность укладки и выкладки, с какого момента у нас наступит ситуация, когда мы можем вынуть шар, но не можем его положить?

Лукомор в сообщении #1431864 писал(а):

Парадокс исчез. Ящик опустел еще до того момента, когда карета превратилась в тыкву...

Ну да, вы переопределили задачу

Лукомор в сообщении #1431864 писал(а):

И этот результат говорит нам о том, что у нас проблемы.

Вы забыли позвать Хьюстона

Лукомор в сообщении #1431864 писал(а):

Действительно, интервалы $[1,k]$ и $[k+1, n]$ перекрывают интервал $[1,n]$

Нет, у нас другие интервалы - $[k,1]$, $[n,k+1]$, $[n,1]$, и их нужно правильно определить. Например интервал $[k,k-1]$ содержит $0$ элементов, а интервал $[k,k]$ не входит в $[k,k-1]$, как собственно и $[k-1,k-1]$
И разбить интервал $[n,1]$ мы можем только как $[n,k]+[k+1,1]$, а не $[n,k+1]+[k,1]$ как вы предлагаете. Так что никакого парадокса

Лукомор в сообщении #1431864 писал(а):

Однако, по нашим правилам,
$\sum\limits_{n}^{1}=-\sum\limits_{2}^{n-1}\ne -\sum\limits_{2}^{n-1}+\sum\limits_{k}^{k+1} $,

Все верно, для отрицательных интервалов будет $[n,1]=[n,k+1]+[k+2, k-1]+[k,1]=[n,k+1]+[k,1]-[k,k+1]$, причем сумма числа элементов в правой части равна числу элементов в левой

Лукомор в сообщении #1431864 писал(а):

и это большая жаль...

Это свойство отрицательных интервалов
Лукомор
Вот мои суммы обобщаются на формулу $\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n+1-j}a_{ij}=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{j}a_{j+1-i,i}$
а ваши нет

[Лукомор]

mihaild в сообщении #1431932 писал(а):

И это будет выполнено как в определении $\sum_a^b = \sum_b^a$

Нет такого определения.

mihaild в сообщении #1431932 писал(а):

так и в определении $\sum_a^b = -\sum_{b + 1}^{a - 1}$, если $k < n$

Нет.
Там будет дырка между $k-1$ и $k+2$.
$\sum\limits_{n}^{1}a_i=-\sum\limits_{2}^{n-1}a_i$
$\sum\limits_{k}^{1}a_i+\sum\limits_{n}^{k+1}a_i=-\sum\limits_{2}^{k-1}a_i-\sum\limits_{k+2}^{n-1}a_i$.

-- Ср дек 25, 2019 21:22:57 --

Sicker в сообщении #1431933 писал(а):

Вы забыли позвать Хьюстона

Я позвал! Но, потом, - удалил!

-- Ср дек 25, 2019 21:26:04 --

Sicker в сообщении #1431933 писал(а):

И разбить интервал $ [n,1]$ мы можем только как $[n,k]+[k+1,1]$, а не $[n,k+1]+[k,1]$ как вы предлагаете. Так что никакого парадокса

Действительно, я ошибся, как обычно.
Тогда мы справляемся и без Хьюстона...

[mihaild]

Лукомор в сообщении #1431938 писал(а):

Нет такого определения

Есть, и вы его предлагали

Лукомор в сообщении #1431525 писал(а):

Выглядит естественным применить формальное обозначение суммы
и для такой частичной суммы, поменяв местами верхний и нижний индекс:
$\sum\limits_{i=5}^{3} a_i=a_5+a_4+a_3$

(ну точнее это частный случай, но обобщается на произвольные индексы очевидным способом)

Лукомор в сообщении #1431938 писал(а):

Нет.

И правда, это вы меня чуть раньше запутали, а я не заметил. Правильное свойство такое: $\sum_a^b + \sum_{b + 1}^c = \sum_a^c$. Про то, что у вас было изначально

Лукомор в сообщении #1431847 писал(а):

$\sum\limits_{k}^{1} + \sum\limits_{n}^{k+1}$,

вам ответили (я с этим ответом согласен)

Sicker в сообщении #1431858 писал(а):

$-\sum\limits_{2}^{n-1}+\sum\limits_{k}^{k+1}$

. Вы сказали, что записываете это "по другому"

Лукомор в сообщении #1431864 писал(а):

Я записываю это несколько по-другому:
$-\sum\limits_{2}^{k-1}-\sum\limits_{k+2}^{n-1}$

, хотя это не "запись по другому", это вообще не имеет никакого отношения к предыдущему варианту. В том же сообщении вы написали

Лукомор в сообщении #1431864 писал(а):

хотелось бы, чтобы за те же деньги выполнялось бы равенство:
$\sum\limits_{n}^{1}=\sum\limits_{n}^{k+1}+\sum\limits_{k}^{1}$

, я спросил, почему, и дальше вы меня запутали. Еще раз спрашиваю - почему нам этого хочется?

[Лукомор]

Sicker в сообщении #1431933 писал(а):

а ваши нет

Еще раз: Нету никаких "моих"... Мои, еще с прошлой страницы - это Ваши.
С того самого момента, когда я вывел правило суммирования этих Ваших сумм, теперь уже, очевидно, не верное,
(с учетом того, что я не правильно расставил границы интервалов )