Сумма ряда

[svv]

Sicker
Мне было приятно увидеть в статье нигерийского математика аналогичный подход. Взгляните, та статья — что-то вроде поддержки и одобрения.
Interpreting the summation notation when the lower limit is greater than the upper limit

[arseniiv]

Подход с нулевой суммой оправдывается, когда принимаешь $\sum\limits_{i=a}^b \equiv \sum\limits_{i\in a..b}$, где $a..b\equiv \{ m\in\mathbb Z : a\leqslant m\leqslant b \}$.

-- Вс дек 22, 2019 20:29:34 --

В таком случае по-другому уже не получится, потому что множество уже не определишь с минусом. С другой стороны можно погрузить множества в свободные модули на них, и тогда мы идём в сторону «сумм по мере», аналогичных опять же интегралам.

[Лукомор]

Sicker в сообщении #1431501 писал(а):

Тогда по вашей логике $\sum\limits_{i=5}^{5} a_i=a_5+a_5$

Тссс! Не будИте мою логику!
Она проснется, и скажет, что
$\sum\limits_{i=5}^{7} a_i=a_5+a_6+a_7$
$\sum\limits_{i=5}^{6} a_i=a_5+a_6$
$\sum\limits_{i=5}^{5} a_i=a_5$
$\sum\limits_{i=5}^{4} a_i=a_5+a_4$
$\sum\limits_{i=5}^{3} a_i=a_5+a_4+a_3$
Но, я с ней не согласен!!!

-- Вс дек 22, 2019 18:07:48 --

Sicker в сообщении #1431501 писал(а):

Вот вам еще доказательство $\sum_k^{k-1} = 0$
$\sum_{i=k}^{n} a_i =0+ a_k+...+a_n$ с $n-k+1$ слагаемым, содержащим $a_i$
При $n=k-1$ будет ноль слагаемых с $a_i$, значит останется только ноль и сумма будет равна нулю

Следовательно, по Вашей логике, при $n=k-2$, будет (-1) слагаемое с $a_i$, соответственно сумма тоже равна нулю...

[Sicker]

svv в сообщении #1431504 писал(а):

Мне было приятно увидеть в статье нигерийского математика аналогичный подход. Взгляните, та статья — что-то вроде поддержки и одобрения.

Да, я смотрел ее

Лукомор в сообщении #1431512 писал(а):

$\sum\limits_{i=5}^{4} a_i=a_5+a_4$
$\sum\limits_{i=5}^{3} a_i=a_5+a_4+a_3$
Но, я с ней не согласен!!!

Вы не учитываете то, что счет происходит в сторону увеличения индексов

Лукомор в сообщении #1431512 писал(а):

Следовательно, по Вашей логике, при $n=k-2$, будет (-1) слагаемое с $a_i$, соответственно сумма тоже равна нулю...

Собственно

arseniiv в сообщении #1431506 писал(а):

множество уже не определишь с минусом

что не противоречит тому, что число элементов может быть нулевым, тогда сумма равна нейтральному элементу относительно сложения
Кстати, если в выражении $a_1+...+a_n$ не оговорить, что число элементов равно $n$, то его можно понять и вычислить как: $a_1+a_n+\sum\limits_{1<i<n} a_i$, что даст сбой только в случае $n=1,0$.
Прям вспомнилось "страх перед нулем и единицей"

[mihaild]

Sicker в сообщении #1431501 писал(а):

Может вы хотели написать $\sum_a^b = -\sum_{b+1}^{a-1}$?

Да, опечатка.

Лукомор в сообщении #1431512 писал(а):

будет (-1) слагаемое с $a_i$, соответственно сумма тоже равна нулю

Что такое 0 слагаемых - понятно. Что такое -1 слагаемое - непонятно.

arseniiv в сообщении #1431506 писал(а):

когда принимаешь $\sum\limits_{i=a}^b \equiv \sum\limits_{i\in a..b}$, где $a..b\equiv \{ m\in\mathbb Z : a\leqslant m\leqslant b \}$.

Только аналогичный подход при переходе к условно сходящимся рядам работать перестает (т.к. для них принципиален порядок).

[arseniiv]

Да, я тут только про конечные суммы думал, скорее.

Лукомор в сообщении #1431512 писал(а):

Но, я с ней не согласен!!!

Ну и слава Диэдру, а то этот вариант всё же хуже и занулительного, и отрицательного.

[Лукомор]

Sicker в сообщении #1431515 писал(а):

Вы не учитываете то, что счет происходит в сторону увеличения индексов

А как Вы это учитываете, когда верхний индекс меньше нижнего?

mihaild в сообщении #1431517 писал(а):

Что такое 0 слагаемых - понятно. Что такое -1 слагаемое - непонятно.

И мне непонятно... именно этот вопрос я и задал ТС-у.

[arseniiv]

Лукомор в сообщении #1431522 писал(а):

И мне непонятно... именно этот вопрос я и задал ТС-у.

Для определения суммы как ТС не нужно думать о количестве слагаемых, ровно так же как не надо думать, что такое «сложить $-\frac47$ раз» при определении умножения рациональных чисел: мы просто изначально определяем (как уже выше писали), что $\sum_{i=m}^n a_i = \sum_{i=m}^{n-1} a_i + a_n$ и что $\sum_{i=m}^{m} a_i = a_m$ (вместо этого можно зафиксировать сумму для любой другой пары границ), и тогда остальное получается автоматически. Точнее сказать, это корректное рекурсивное определение. Мы можем как обычно считать, что $m\leqslant n$, но если снять это ограничение, оказывается, ничего с таким определением не ломается (если последовательность определена для любого целого индекса, конечно).

[Лукомор]

arseniiv в сообщении #1431519 писал(а):

Ну и слава Диэдру, а то этот вариант всё же хуже и занулительного, и отрицательного.

Он и хуже и лучше одновременно...
Речь ведь идет о сумме ряда.
И, видимо, числового ряда.
Возьмем ряд, сумма которого равна $\sum\limits_{i=1}^{n} a_i$
Теперь вырежем из него лакомый кусочек:
$a_3+a_4+a_5$
Обозначим эту частичную сумму
$\sum\limits_{i=3}^{5} a_i=a_3+a_4+a_5$
Теперь я меняю порядок следования этой части членов ряда на обратный:
$a_5+a_4+a_3$
Выглядит естественным применить формальное обозначение суммы
и для такой частичной суммы, поменяв местами верхний и нижний индекс:
$\sum\limits_{i=5}^{3} a_i=a_5+a_4+a_3$

Я ни в коей мере не против ни "отрицательного", ни, особенно, "занулительного" варианта, но... может быть, для них другие обозначения какие-то придумать?

[Aritaborian]

Я понимаю, что уважаемый svv новости из Нигерии приводит исключительно в качестве издевательства. Вот чего я не понимаю, так это за каким нигерийцем ТС полез на сайт vixra. От большого ли ума?

[arseniiv]

Лукомор в сообщении #1431525 писал(а):

Выглядит естественным применить формальное обозначение суммы
и для такой частичной суммы, поменяв местами верхний и нижний индекс

Кому выглядит, а кому нет. В языке Pascal например для циклов for, которые отнимают от переменной положительное число, использовали аж другое слово downto вместо to для цикла, прибавляющего число. Это прямого отношения к математике не имеет, но может лучше иллюстрировать, что в вашем определении суммы получается нужно рассматривать два случая — когда верхняя граница не меньше нижней и когда не больше, тогда как в определениях à la svv и à la mihaild (и ТС) можно всё определить без «если такое, то так, а если сякое, то так». Ну и ваше можно определить без еслей, но определение будет более громоздким, чем в этих двух. А ради каких свойств? Какая польза от такого «обобщения модулем»?

[Lia]

Aritaborian в сообщении #1431537 писал(а):

Я понимаю, что уважаемый svv новости из Нигерии приводит исключительно в качестве издевательства.

А я понимаю, что в качестве исследовательского интереса.

Aritaborian, прекращайте оффтоп с переходами на личности.

[Лукомор]

arseniiv в сообщении #1431546 писал(а):

Какая польза от такого «обобщения модулем»?

Так, стоп!
Я уже разобрался.
На самом деле, если вдуматься, у нас с ТС всё то же самое, только наоборот...
Для начала, разберем, как это работает у Лукомора.
Я беру, для примера, ряд $\sum\limits_{1}^{7} a_i$
и выхватываю из его середины кусок $\sum\limits_{3}^{5} a_i$
У меня остается два фрагмента из начала и конца ряда:
$\sum\limits_{1}^{2} a_i$
$\sum\limits_{6}^{7} a_i$
Эти фрагменты я оставляю, как они есть, а серединку - инвертирую,
при этом у меня $\sum\limits_{5}^{3} a_i = \sum\limits_{3}^{5} a_i$
Теперь сумма исходного ряда представляется суммой его частичных сумм следующим образом:
$\sum\limits_{1}^{7} a_i = \sum\limits_{1}^{2} a_i + \sum\limits_{5}^{3} a_i +\sum\limits_{6}^{7} a_i$,
то-есть у меня верхний индекс инвертированной суммы на единицу больше верхнего индекса предыдущей суммы, а нижний индекс, на единицу меньше нижнего индекса последующей суммы.
$\sum\limits_{1}^{n} a_i = \sum\limits_{1}^{k} a_i + \sum\limits_{l-1}^{k+1} a_i +\sum\limits_{l}^{n} a_i$,
Это общее правило.
То-есть, у меня весь интервал значений индексов разбивается на три не пересекающихся интервала.

Sicker предлагает разбивать этот интервал так:
$\sum\limits_{1}^{7} a_i = \sum\limits_{1}^{4} a_i + \sum\limits_{5}^{3} a_i +\sum\limits_{4}^{7} a_i$.
Поскольку первый и третий интервалы перекрываются, элемент $a_4$ дублируется,
и, дабы сумма исходного ряда не изменилась, мы принимаем
$\sum\limits_{5}^{3} a_i = -a_4$
В общем виде, для части ряда произвольной длины, получаем формулу:
$\sum_{b}^{a}=-\sum_{a+1}^{b-1}$,
где $a<b$.
Элементы на краях интервала обнуляются, внутри интервала - меняют знак.
Это общее правило.

-- Пн дек 23, 2019 04:24:32 --

arseniiv в сообщении #1431546 писал(а):

В языке Pascal например для циклов for, которые отнимают от переменной положительное число, использовали аж другое слово downto вместо to для цикла, прибавляющего число.

В любом языке сумма элементов массива, будем ли мы складывать в порядке увеличения порядковых номеров элементов,
или в порядке уменьшения номеров элементов, не изменится.
Здесь же мы наблюдаем
$a_5 + a_4 = 0$
$a_5 + a_4 + a_3 = -a_4$
$a_5 + a_4 + a_3 +a_2 = -(a_3 + a_4)$

[mihaild]

Лукомор в сообщении #1431555 писал(а):

В любом языке сумма элементов массива, будем ли мы складывать в порядке увеличения порядковых номеров элементов,
или в порядке уменьшения номеров элементов, не изменится

Просто операции для складывания элементов в возрастающем порядке и в убывающем разные. Если вы попытаетесь в C++ написать std::accumulate(a.end(), a.begin(), 0); - получите UB и скорее всего падение.

Лукомор в сообщении #1431555 писал(а):

Здесь же мы наблюдаем
$a_5 + a_4 + a_3 = -a_4$

Нет, мы просто не "наблюдаем" $\sum_{i=5}^3 a_i = a_5 + a_4 + a_3$. У вас же получается, что пределы суммирования можно свободно переставлять.

[vpb]

svv в сообщении #1431472 писал(а):

Kunle Adegoke, Interpreting the summation notation when the lower limit is greater than the upper limit (гуглится).

Впечатляющий размах научного поиска ! Что называется, знай наших !

Если серьёзно. В каких-то отдельных ситуациях нетрадиционная трактовка суммы, у которой верхний предел меньше нижнего, может быть удобным соглашением. Но в качестве предмета для какой-то общей теории это, имхо, бессмысленно.