Доказать дифференцируемость

[Antiq]

Доброго времени суток, помогите доказать дифференцируемость функции:
$f(x) = x^2 \csot \sin(\frac{1}{x}), x \ne0$.
Через существование конечной производной сомнительная затея, а по определению:
$\Delta f = (x+\Delta x)^2 \cdot \sin(\frac{1}{x+\Delta x}) - x^2 \cdot \sin(\frac{1}{x}) = -2 \cdot x^2 \cdot \sin(\frac{\Delta x}{2 \cdot x \cdot (x+\Delta x)}) \cdot \cos(\frac{2\cdot x + \Delta x}{2 \cdot x \cdot (x + \Delta x)}) + \Delta x \cdot \sin(\frac{1}{x + \Delta x}) \cdot (2\cdot x + \Delta x)$
не понимаю как это представить в виде линейной части.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[gris]

не имеется ли тут в виду дополненная по непрерывности (если можно) в нуле функция? А то вне нуля как бы композиция и произведение гладких функций. в любой точке именно, что существует конечная производная (можно это и явно выписать).
А в нуле начните со значения функции, а потом по определению.

[Antiq]

В нуле функция дополнена нулем. Хочу строго доказать, а не на пальцах "ну там же видно, что гладенькая". Да и к тому же реальной гарантии, что в малой окрестности нуля функция будет "гладкой" нет, предел производной в нуле вообще не определен, ни один из односторонних.

[thething]

Antiq
В нуле доказывайте по определению через предел. В остальных точках чем Вас не устраивают теоремы о дифференцировании произведения, частного, композиции?

[mihaild]

Вне нуля - функция есть композиция гладких функций, так что производная существует и считается по теореме о производной композиции.
В нуле - производная легко считается по определению, т.к. приращение функции записывается сильно проще если подставить $x = 0$: $\Delta f = (\Delta x)^2 \cdot \sin\left(\frac{1}{\Delta x}\right)$. И если поделить это на $\Delta x$, то у получившегося частного легко вычисляется предел в нуле.

[Antiq]

Вы когда рассматриваете производную в нуле, у Вас появляется слагаемое $\sin(\frac{1}{0})$, которое не определенно и предел которого не существует.

[mihaild]

Antiq в сообщении #1431327 писал(а):

у Вас появляется слагаемое $\sin(\frac{1}{0})$,

Нет, откуда? Мы рассматриваем $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x) - f(0)}{\Delta x}$. Значения выражения под пределом нас интересуют в проколотой окрестности нуля.

[Lia]

Antiq в сообщении #1431327 писал(а):

Вы когда рассматриваете производную в нуле, у Вас появляется слагаемое $\sin(\frac{1}{0})$, которое не определенно и предел которого не существует.

Antiq в сообщении #1431319 писал(а):

В нуле функция дополнена нулем.