Гиперплоскости в R^n

[Kid Kool]

Профессор Снэйп писал(а):

to Kid Kool: извиняюсь, но я так и не заметил Вашего решения. Нельзя ли расписать его немного подробнее?

Я, в свою очередь, тоже извиняюсь. Времени сейчас нет совсем. Как освобожусь - напишу.

[maxal]

Кстати, в Математическом Просвещении N12 есть статья:
В. И. Арнольд На сколько частей делят плоскость n прямых?

[Профессор Снэйп]

Глянул туда одним глазком и поразился, сколь трудна, оказывается, эта задача, раз даже Арнольд не смог её полностью решить.

В конце статьи приводится следующая открытая проблема: могут ли 8 прямых делить плоскость на 23 части?

[maxal]

Профессор Снэйп писал(а):

В конце статьи приводится следующая открытая проблема: могут ли 8 прямых делить плоскость на 23 части?

Эта задача не кажется особо сложной. Например, в качестве совсем простой подзадачи предлагаю доказать, что если 8 прямых делят плоскость на 23 части, то общее число точек пересечения этих прямых (без учета кратности) не превосходит 13.
Отсюда следует, что число возможных конфигураций не будет чрезчур большим, и вполне должно быть посильно перебору на компьютере. Эх, найти бы еще время для его осуществления...

P.S. Все идет к тому, что пора становиться профессором и реализовывать свои идеи с помощью аспирантов, сам уже не успеваю

[Kid Kool]

Индукция по n+k. Переход: от меньших n+k к n+k.

Каждому вектору $a_i$ соответствует гиперплоскость $A_i$, состоящая из всех перпендикулярных ему векторов. Выделим $a_k$ и для $i \leq k-1$ рассмотрим проекции $a_k$ на $A_i$: $b_i = a_i - a_k(a_i, a_k)$ (считаем все векторы единичными).

Далее, рассмотрим гиперплоскости $A_i$, пересекающие $A_k$. Для простоты считаем, что это все оставшиеся гиперплоскости, это не умалит общности рассуждения. Для любого i от 1 до k-1 пересечение $A_i$ с $A_k$ - это гиперплоскость в $A_k$ с нормалью $b_i$ (обозначим ее $B_i$). Поэтому максимальное количество частей, на которые $B_i$ могут делить $A_k$ по индукционному предположению не превосходит количества линейно независимых подмножеств множества $\{b_1,...,b_{k-1}\}$. Но подмножество $\{b_{i_1},...,b_{i_s}\}$ линейно зависимо тогда и только тогда, когда линейно зависимы вектора $a_{i_1}, ..., a_{i_s}$ и $a_k$. Значит максимальное число частей в разбиении равно количеству линейно независимых подмножеств множества $\{a_1,...,a_k\}$, содержащих $a_k$.

Далее действуем как и в частных случаях. Выкинем на время гиперплоскость $A_k$, оставшиеся гиперплоскости разобьют пространство на количество частей, не превосходящее числа линейно независимых подмножеств множества $\{a_1,...,a_{k-1}\}$. Теперь добавим $A_k$. Если рассматривать последовательно части, на которые $B_i$ бьют $A_k$, то получим, что каждая из них добавляет одну новую часть к нашему разбиению. Всего добавилось число частей, не превосходящее максимального количества линейно независимых подмножеств множества $\{a_1,...,a_k\}$, содержащих $a_k$. А стало в сумме не больше, чем максимальное количество линейно независимых подмножеств множества $\{a_1,...,a_k\}$. Переход доказан.

Ход приведенных рассуждений легко модифицируется и под второй пункт первой задачи.

[Антон Жернов]

Разбиение плоскости
Сообщение прислал(а): Антон (10.55.116.220)
Дата написания: 7 сентября 2008г. 21:57:49


--------------------------------------------------------------------------------

Здравствуйте!

Есть довольно известная задача: "На сколько частей разбивают плоскость n прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три из которых не пересекаются в одной точке?"

Задача решается довольно просто, но самое главное, что ответ - простая формула!

Гораздо интереснее обобщенная задача: "На сколько частей могут разбивать плоскость n прямых?". То есть условия непараллельности и непересечения трех прямых отсутствуют. Ясно, что здесь есть разные варианты. И непонятно каким может быть ответ. То есть его форма.

Помогите, люди добрые! А то одним хорошим человеком может стать меньше

[worm2]

Форма ответа может быть такой:
Число разбиений может быть любым, начиная от 2-х, заканчивая [та самая формула для прямых общего положения], за исключением запрещённых чисел, которые определяются следующим критерием: [текст критерия].

[Антон Жернов]

Ну вот, с формой ответа определились. Осталось решить задачу...

[Профессор Снэйп]

Может, стоило просмотреть уже существующие темы перед тем, как заводить новую?

http://dxdy.ru/topic10747.html

[Антон Жернов]

Дело в том, что в указанной вами теме речь идет о максимуме частех плоскости. В описанной мной задаче речь идет в всех возможных количествах частей

[worm2]

Вы не всю тему прочитали внимательно. Попробуйте ещё раз.

P.S. Если Вас интересует лишь конечный результат, то удовлетворю Ваше любопытство: проблема является открытой.

[ha]

Смотри журнал математическое просвещение, выпуск 12, 2008 год, 95 страница. Ссылка на электронную версию журнала: http://www.mccme.ru/free-books/matprosd.html