Индукция по n+k. Переход: от меньших n+k к n+k.
Каждому вектору

соответствует гиперплоскость

, состоящая из всех перпендикулярных ему векторов. Выделим

и для

рассмотрим проекции

на

:

(считаем все векторы единичными).
Далее, рассмотрим гиперплоскости

, пересекающие

. Для простоты считаем, что это все оставшиеся гиперплоскости, это не умалит общности рассуждения. Для любого i от 1 до k-1 пересечение

с

- это гиперплоскость в

с нормалью

(обозначим ее

). Поэтому максимальное количество частей, на которые

могут делить

по индукционному предположению не превосходит количества линейно независимых подмножеств множества

. Но подмножество

линейно зависимо тогда и только тогда, когда линейно зависимы вектора

и

. Значит максимальное число частей в разбиении равно количеству линейно независимых подмножеств множества

, содержащих

.
Далее действуем как и в частных случаях. Выкинем на время гиперплоскость

, оставшиеся гиперплоскости разобьют пространство на количество частей, не превосходящее числа линейно независимых подмножеств множества

. Теперь добавим

. Если рассматривать последовательно части, на которые

бьют

, то получим, что каждая из них добавляет одну новую часть к нашему разбиению. Всего добавилось число частей, не превосходящее максимального количества линейно независимых подмножеств множества

, содержащих

. А стало в сумме не больше, чем максимальное количество линейно независимых подмножеств множества

. Переход доказан.
Ход приведенных рассуждений легко модифицируется и под второй пункт первой задачи.