Сумма ряда

[Sicker]

Пусть дана сумма $\sum\limits_{i=k}^n a_i$, и известно что существуют только $a_1,a_2,a_3,...$
Верно ли я понимаю, что в частности
$\sum\limits_{i=1}^0 a_i=0$
$\sum\limits_{i=5}^3 a_i=-a_4$
$\sum\limits_{i=0}^1 a_i=\varnothing$
$\sum\limits_{i=0}^0 a_i=0$
$\sum\limits_{i=-2}^{-1} a_i=0$

[svv]

Sicker в сообщении #1431130 писал(а):

Верно ли я понимаю

Нет. Но я понимаю, что Вы занимаетесь творчеством. Поддержу Вас, но не во всём.

Sicker в сообщении #1431130 писал(а):

существуют только $a_1,a_2,a_3,...$

Однако в некоторые Ваши суммы входят $a_i$, которые не определены. Если Вы хотите придать смысл и таким суммам, разумно считать, что $a_i=0$ при $i<1$. Это обеспечивает четвёртое и пятое равенство, но противоречит третьему.

Sicker в сообщении #1431130 писал(а):

$\sum\limits_{i=5}^3 a_i=-a_4$

Понимаю. Это можно получить, обобщив правило
$\sum\limits_k^n=\sum\limits_k^m+ \sum\limits_{m+1}^n$
на случай, когда верхний предел меньше нижнего. Мне кажется, часто удобнее считать, что такие суммы равна нулю. Мы сходимся в том, что $\sum\limits_{k}^{k-1}=0$.

Цитата:

$\sum\limits_{i=0}^1 a_i=\varnothing$

[Утундрий]

Пусть задана сумма. Чему равна сумма там, где она не задана?

[ИСН]

Да к чёрту суммы, они только путают. Вот у меня задана функция; чему она равна там, где она не задана? Нулю? Пустому множеству? Пустой строке? Строке "0"? Удару лбом о монитор?

[svv]

Неужели неясно, что ТС хочет разумно расширить существующее определение?

[Утундрий]

svv в сообщении #1431142 писал(а):

ТС хочет разумно расширить существующее определение

Только он забыл указать критерий "разумности". По мне, пусть расширяет как хочет, в чём вопрос-то?

[Sicker]

svv в сообщении #1431134 писал(а):

Однако в некоторые Ваши суммы входят $a_i$, которые не определены

Согласен, но первое мое равенство точно верно безотносительно существуют ли $a_i$ при $i<1$, или нет

svv в сообщении #1431134 писал(а):

Если Вы хотите придать смысл и таким суммам, разумно считать, что $a_i=0$ при $i<1$. Это обеспечивает четвёртое и пятое равенство, но противоречит первому.

Согласен насчет четвертого и пятого равенства, но как это противоречит первому?

svv в сообщении #1431134 писал(а):

Мне кажется, часто удобнее считать, что такие суммы равна нулю. Мы сходимся в том, что $\sum\limits_{k}^{k-1}=0$.

Вот с этим я точно согласен

svv в сообщении #1431134 писал(а):

Цитата:

$\sum\limits_{i=0}^1 a_i=\varnothing$

Ну типа множество функций из пустого множества в непустое пусто

[Lia]

Sicker
А правда, укажите критерии разумности.

[Sicker]

Lia в сообщении #1431156 писал(а):

А правда, укажите критерии разумности.

Я создал эту тему думая что открыл велосипед
Хорошо, тогда является ли общепринятым

svv в сообщении #1431134 писал(а):

Мы сходимся в том, что $\sum\limits_{k}^{k-1}=0$.

и

svv в сообщении #1431134 писал(а):

Цитата:

$\sum\limits_{i=5}^3 a_i=-a_4$

Понимаю. Это можно получить, обобщив правило
$\sum\limits_k^n=\sum\limits_k^m+ \sum\limits_{m+1}^n$
на случай, когда верхний предел меньше нижнего

?

[Aritaborian]

Sicker в сообщении #1431176 писал(а):

Я создал эту тему думая что открыл велосипед

Слышь, Бивис, велосипед он открыл. Русский язык для начала открыл бы. Велосипед, чтоб вы знали, молодой человек, нельзя открыть. Его можно разве что изобрести.

[Sicker]

Aritaborian
А вы еще отсутствие запятой в деепричастном обороте у меня пропустили

(Оффтоп)

Я кстати ее специально пропустил, для вас - плохо работаете

[Лукомор]

svv в сообщении #1431134 писал(а):

Мы сходимся в том, что $\sum\limits_{k}^{k-1}=0$.

Не сходитесь...
Если $\sum\limits_{i=4}^3 a_i=0$,
и $\sum\limits_{i=5}^4 a_i=0$, то и
$\sum\limits_{i=5}^3 a_i=0$,
в то время, как

Sicker в сообщении #1431130 писал(а):

$\sum\limits_{i=5}^3 a_i=-a_4$

[svv]

Sicker в сообщении #1431176 писал(а):

Хорошо, тогда является ли общепринятым

svv в сообщении #1431134 писал(а):

Мы сходимся в том, что $\sum\limits_{k}^{k-1}=0$.

Да. Вот, смотрите:

Wiki, Summation, Special cases писал(а):

If the summation has no summands, then the evaluated sum is zero, because zero is the identity for addition. This is known as the empty sum.

Wiki, Summation, Formal Definition писал(а):

Summation may be defined recursively as follows
$\sum\limits_{i=a}^b g(i)=0$ , for $b< a$.

Wiki, Empty Sum писал(а):

Allowing a "sum" with only 1 or 0 terms reduces the number of cases to be considered in many mathematical formulas. Such "sums" are natural starting points in induction proofs, as well as in algorithms. For these reasons, the "empty sum is zero" extension is standard practice in mathematics and computer programming.

Разумеется, всегда кто-нибудь заявит: «а я это не признаю и в этом не нуждаюсь».

Sicker в сообщении #1431176 писал(а):

Хорошо, тогда является ли общепринятым ...

svv в сообщении #1431134 писал(а):

Цитата:

$\sum\limits_{i=5}^3 a_i=-a_4$

Понимаю. Это можно получить, обобщив правило
$\sum\limits_k^n=\sum\limits_k^m+ \sum\limits_{m+1}^n$
на случай, когда верхний предел меньше нижнего

Нет, это общепринятым не является.

Sicker в сообщении #1431154 писал(а):

Согласен насчет четвертого и пятого равенства, но как это противоречит первому?

Извините, следует читать "третьему" (уже исправил). Если считать, что $a_i=0, i<1$, третья сумма даст $\sum\limits_{i=0}^1 a_i=a_1$.

(Лукомор)

Лукомор в сообщении #1431197 писал(а):

Если $\sum\limits_{i=4}^3 a_i=0$,
и $\sum\limits_{i=5}^4 a_i=0$, то и
$\sum\limits_{i=5}^3 a_i=0$,

Почему? Единственное, что у нас изначально есть для "инверсных" сумм — это "цепное правило" $\sum\limits_k^n=\sum\limits_k^m+ \sum\limits_{m+1}^n$ (если мы принимаем именно его), но я не вижу, как, пользуясь им, объединить две суммы $\sum\limits_{i=4}^3 a_i$ и $\sum\limits_{i=5}^4 a_i$ в одну. Нужно, чтобы нижний предел одной суммы был на единицу больше верхнего предела другой суммы.

[Лукомор]

svv в сообщении #1431218 писал(а):

Единственное, что у нас изначально есть для "инверсных" сумм — это "цепное правило" $\sum\limits_k^n=\sum\limits_k^m+ \sum\limits_{m+1}^n$, но я не вижу, как, пользуясь им, объединить две суммы $\sum\limits_{i=4}^3 a_i$ и $\sum\limits_{i=5}^4 a_i$ в одну.

Для приведенного выше примера:

$\sum\limits_{i=5}^3 a_i=\sum\limits_{i=5}^4 a_i + \sum\limits_{i=5}^3 a_i$,
откуда $\sum\limits_{i=5}^4 a_i=0$
Аналогично, из $\sum\limits_{i=4}^2 a_i=\sum\limits_{i=4}^3 a_i+ \sum\limits_{4}^2 a_i$
следует $\sum\limits_{i=4}^3 a_i=0$.

[svv]

Ну, верно, но Вы же выше сказали, что отсюда как-то следует и $\sum\limits_{i=5}^3 a_i = 0$, а вот этого я уже не понимаю.

Обе суммы, для которых Вы нашли, что они нулевые, имеют вид $\sum\limits_{i=k}^{k-1} a_i$, и я полностью согласен, что они равны нулю. Но вывести из этого $\sum\limits_{i=k}^{k-2} a_i=0$, по-моему, проблематично.