2020^k + 1 не является квадратом целого

[ilghiz]

Добрый день,

как-то сильно туплю, и не могу с ходу сообразить как доказать, что $2020^k + 1$ для целого $k$ не может быть квадратом целого числа. Пните меня, пожалуйста, в нужном направлении.

То есть понятно, что для нечетных $k$ имеется разложение, но не понятно что с таким разложением делать и как работать с нечетным $k$.

Спасибо!

[Pphantom]

Есть такая полезная штука - цифровой корень. Дальше рассказывать не буду, это и так почти полное решение.

[nnosipov]

Pphantom в сообщении #1430605 писал(а):

Есть такая полезная штука - цифровой корень.

Э-э ... Полезная штука --- это модулярная арифметика (она же арифметика остатков). А цифровые корни --- это ее очень частный и вульгаризированный вариант, арифметика остатков для бедных совсем маленьких. Лучше не употреблять.

[Pphantom]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1430614 писал(а):

арифметика остатков для бедных совсем маленьких

Это, конечно, да, но в данном случае и их вполне достаточно, а задача похожа на школьную.

[ilghiz]

Да, задача школьная - мой ребенок в ступор меня ввел, а я подзабыл как такое решается.

Все-таки, продолжаю не понимать, для $k$ - четного, очевидно, что $2020^k+1$ квадратом быть не может, так как $2020^k$, для $k$ - нечетного имеем разложение
$2020^k+1=2021*(1 - 2020 + 2020^2 - ... 2020^{k-1})$ но как дальше применить модульную арифметику - ума не приложу.

[worm2]

Нужно по модулю считать. А по какому — не скажу

[svv]

А это разложение использовать не нужно.