2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 2020^k + 1 не является квадратом целого
Сообщение17.12.2019, 00:42 


11/08/18
363
Добрый день,

как-то сильно туплю, и не могу с ходу сообразить как доказать, что $2020^k + 1$ для целого $k$ не может быть квадратом целого числа. Пните меня, пожалуйста, в нужном направлении.

То есть понятно, что для нечетных $k$ имеется разложение, но не понятно что с таким разложением делать и как работать с нечетным $k$.

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: 2020^k + 1 не является квадратом целого
Сообщение17.12.2019, 01:06 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Есть такая полезная штука - цифровой корень. Дальше рассказывать не буду, это и так почти полное решение. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: 2020^k + 1 не является квадратом целого
Сообщение17.12.2019, 03:27 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Pphantom в сообщении #1430605 писал(а):
Есть такая полезная штука - цифровой корень.
Э-э ... Полезная штука --- это модулярная арифметика (она же арифметика остатков). А цифровые корни --- это ее очень частный и вульгаризированный вариант, арифметика остатков для бедных совсем маленьких. Лучше не употреблять.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2020^k + 1 не является квадратом целого
Сообщение17.12.2019, 10:41 
Заслуженный участник


09/05/12
25179

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1430614 писал(а):
арифметика остатков для бедных совсем маленьких
Это, конечно, да, но в данном случае и их вполне достаточно, а задача похожа на школьную.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2020^k + 1 не является квадратом целого
Сообщение17.12.2019, 11:14 


11/08/18
363
Да, задача школьная - мой ребенок в ступор меня ввел, а я подзабыл как такое решается.

Все-таки, продолжаю не понимать, для $k$ - четного, очевидно, что $2020^k+1$ квадратом быть не может, так как $2020^k$, для $k$ - нечетного имеем разложение
$2020^k+1=2021*(1 - 2020 + 2020^2 - ... 2020^{k-1})$ но как дальше применить модульную арифметику - ума не приложу.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2020^k + 1 не является квадратом целого
Сообщение17.12.2019, 11:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3158
Уфа
Нужно по модулю считать. А по какому — не скажу :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: 2020^k + 1 не является квадратом целого
Сообщение17.12.2019, 12:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
А это разложение использовать не нужно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group